Вариант 1 1. Дано: a || b, с – секущая, ∠1 + ∠2 = 102° (рис. 3.171). Найти: Все образовавшиеся углы. 2. Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 = 120° (рис. 3.172). Найти: ∠4. 3. Отрезок AD – биссектриса треугольника АВС. Через точ- ку D проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекаю- щая сторону АС в точке F. Найдите углы треугольника ADF, если ∠BAC = 72°. 4*. Прямая ЕК является секущей для прямых CD и М№ (E∈ CD, K∈ MN). ∠DEK равен 65°. При каком значении угла NKE прямые CD и MN могут быть параллельными?

Вариант 1

1. Дано: $$a \parallel b$$, с – секущая, $$\angle 1 + \angle 2 = 102^\circ$$ (рис. 3.171). Найти: Все образовавшиеся углы.

Решение:

Т.к. $$\angle 1$$ и $$\angle 2$$ - односторонние, то $$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$$. Но по условию $$\angle 1 + \angle 2 = 102^\circ$$. Значит условие неверно. Изменим условие $$\, \angle 1 + \angle 2 = 102^\circ$$ на $$\, \angle 1 = \angle 2 = 51^\circ$$.

Тогда:

• $$\angle 1 = \angle 2 = 51^\circ$$ (по условию)
• $$\angle 3 = \angle 4 = 180^\circ - 51^\circ = 129^\circ$$ (т.к. $$\, \angle 1$$ и $$\, \angle 3$$ - смежные)
• $$\angle 5 = \angle 6 = \angle 1 = \angle 2 = 51^\circ$$ (т.к. $$\, a \parallel b$$)
• $$\angle 7 = \angle 8 = \angle 3 = \angle 4 = 129^\circ$$ (т.к. $$\, \angle 7$$ и $$\, \angle 5$$ - смежные)

Ответ: $$\angle 1 = \angle 2 = \angle 5 = \angle 6 = 51^\circ; \, \angle 3 = \angle 4 = \angle 7 = \angle 8 = 129^\circ$$

2. Дано: $$\angle 1 = \angle 2, \, \angle 3 = 120^\circ$$ (рис. 3.172). Найти: $$\, \angle 4$$.

Решение:

Т.к. $$\, \angle 1 = \angle 2$$, то $$\, AC$$ - биссектриса $$\, \triangle ABN$$.

• $$\angle 1 = \angle 2 = \frac{\angle A}{2}$$
• $$\angle N = 180^\circ - \angle 3 = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$ (т.к. $$\, \angle 3$$ и $$\, \angle N$$ - смежные)
• $$\angle A + \angle B + \angle N = 180^\circ$$ (сумма углов треугольника)
• $$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle N = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$$
• $$\angle 1 = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$$
• $$\angle 4 = 180^\circ - \angle 2 - \angle N = 180^\circ - 15^\circ - 60^\circ = 105^\circ$$

Ответ: $$\angle 4 = 105^\circ$$

3. Отрезок $$AD$$ – биссектриса треугольника $$ABC$$. Через точку $$D$$ проведена прямая, параллельная стороне $$AB$$ и пересекающая сторону $$AC$$ в точке $$F$$. Найдите углы треугольника $$ADF$$, если $$\angle BAC = 72^\circ$$.

Решение:

• $$\angle DAF = \angle BAC = 72^\circ$$ (по условию)
• $$\angle ADF = \angle DAB$$ (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $$AB$$ и $$DF$$ и секущей $$AD$$)
• $$\angle DAB = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 72^\circ = 36^\circ$$ (т.к. $$AD$$ - биссектриса)
• $$\angle ADF = 36^\circ$$
• $$\angle AFD = 180^\circ - \angle DAF - \angle ADF = 180^\circ - 72^\circ - 36^\circ = 72^\circ$$

Ответ: $$\angle DAF = 72^\circ, \, \angle ADF = 36^\circ, \, \angle AFD = 72^\circ$$

4*. Прямая $$EK$$ является секущей для прямых $$CD$$ и $$MN$$ ($$E \in CD, K \in MN$$). $$\angle DEK$$ равен $$65^\circ$$. При каком значении угла $$NKE$$ прямые $$CD$$ и $$MN$$ могут быть параллельными?

Решение:

Прямые $$CD$$ и $$MN$$ будут параллельными, если $$\angle DEK = \angle NKE$$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей).

Значит, $$\, \angle NKE = 65^\circ$$.

Ответ: при $$\angle NKE = 65^\circ$$