Вариант 1 1. Дано: a || b, с – секущая, 21 + 12 = 102° (рис. 3.171). Найти: Все образовавшиеся углы. 2. Дано: 21 = 22, 23 = 120° (рис. 3.172). Найти: 24. 3. Отрезок AD – биссектриса треугольника АВС. Через точ- ку D проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекаю- щая сторону АС в точке F. Найдите углы треугольника ADF, если ZBAC = 72°. 4*. Прямая ЕК является секущей для прямых CD и MN (E∈ CD, K∈ MN). ∠DEK равен 65°. При каком значении угла NKE прямые CD и MN могут быть параллельными?

Давай разберем по порядку каждое задание.

1. Параллельные прямые a и b, секущая c

Дано: a || b, с – секущая, ∠1 + ∠2 = 102°.

Найти: Все образовавшиеся углы.

Решение:

1. ∠1 и ∠2 – односторонние углы. Сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна 180°.
2. ∠1 + ∠2 = 102°, значит, ∠1 = ∠2 = 102° / 2 = 51°. (Так как на рисунке углы 1 и 2 не равны, то стоит рассматривать задачу в общем виде: ∠1 + ∠2 = 102°).
3. Найдем каждый угол отдельно:
4. ∠1 + ∠2 = 102°
5. ∠1 = x, ∠2 = 102 - x
6. Смежные с ∠1 и ∠2 углы равны:
7. ∠3 = 180° - ∠1 = 180° - x
8. ∠4 = 180° - ∠2 = 180° - (102 - x) = 78° + x
9. Соответственные углы равны, а вертикальные углы равны.
10. Остальные углы:
11. ∠5 = ∠1 = x
12. ∠6 = ∠2 = 102 - x
13. ∠7 = ∠3 = 180 - x
14. ∠8 = ∠4 = 78 + x

Все углы выражены через x (где x - значение угла ∠1).

2. ∠1 = ∠2, ∠3 = 120°

Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 = 120° (рис. 3.172).

Найти: ∠4.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник, образованный пересечением прямых.
2. ∠1 = ∠2, значит, треугольник равнобедренный.
3. ∠3 = 120°, тогда смежный с ним угол равен 180° - 120° = 60°.
4. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠1 = ∠2 = 60°.
5. Сумма углов треугольника равна 180°, значит, ∠4 = 180° - ∠1 - ∠2 = 180° - 60° - 60° = 60°.

Ответ: ∠4 = 60°

3. Треугольник ABC, AD - биссектриса, DF || AB

Дано: Отрезок AD – биссектриса треугольника ABC. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне AB и пересекающая сторону AC в точке F. Найдите углы треугольника ADF, если ∠BAC = 72°.

Решение:

1. AD - биссектриса ∠BAC, значит, ∠BAD = ∠DAC = ∠BAC / 2 = 72° / 2 = 36°.
2. DF || AB, тогда ∠ADF = ∠BAD как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и DF и секущей AD. Значит, ∠ADF = 36°.
3. В треугольнике ADF: ∠DAF = 36°, ∠ADF = 36°.
4. Сумма углов треугольника равна 180°, значит, ∠AFD = 180° - ∠DAF - ∠ADF = 180° - 36° - 36° = 108°.

Ответ: ∠DAF = 36°, ∠ADF = 36°, ∠AFD = 108°

4. Прямые CD и MN, секущая EK

Дано: Прямая EK является секущей для прямых CD и MN (E ∈ CD, K ∈ MN). ∠DEK равен 65°. При каком значении угла ∠NKE прямые CD и MN могут быть параллельными?

Решение:

1. Для того чтобы прямые CD и MN были параллельными, необходимо, чтобы соответственные углы при секущей EK были равны.
2. ∠DEK = 65°, тогда ∠MKE должен быть равен ∠DEK, чтобы CD || MN.
3. ∠NKE и ∠MKE - смежные, значит, их сумма равна 180°.
4. ∠NKE = 180° - ∠MKE = 180° - 65° = 115°.

Ответ: ∠NKE = 115°

Ответ:

Ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!