Вариант 1 1. Дано: a || b, с секущая, 21 + 2 = 102° (рис. 3.171). Найти: Все образовавшиеся углы. 2. Дано: 21 = 2, 3 = 120° (рис. 3.172). Найти: 24. 3. Отрезок AD - биссектриса треугольника АВС. Через точ- ку D проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекаю- щая сторону АС в точке F. Найдите углы треугольника ADF, если ∠BAC = 72°. 4*. Прямая ЕК является секущей для прямых CD и М№ (E∈ CD, KE MN). ∠DEK равен 65°. При каком значении угла NKE прямые CD и MN могут быть параллельными?

Решение:

Задание 1.

Дано: $$a || b$$, $$c$$ - секущая, $$\angle 1 + \angle 2 = 102^\circ$$.

Найти: Все образовавшиеся углы.

Решение:

Сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна $$180^\circ$$. Значит,

$$\angle 1 + \angle 2 = 102^\circ$$

$$\angle 1 + \angle 2 = 102^\circ$$

$$\angle 2 = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$$

$$\angle 1 = 102^\circ - 78^\circ = 24^\circ$$

Угол 3 равен углу 1 как вертикальные. Значит, $$\angle 3 = 24^\circ$$.

Угол 4 равен углу 2 как вертикальные. Значит, $$\angle 4 = 78^\circ$$.

Угол 5 равен углу 2 как соответственные. Значит, $$\angle 5 = 78^\circ$$.

Угол 6 равен углу 1 как соответственные. Значит, $$\angle 6 = 24^\circ$$.

Угол 7 равен углу 5 как вертикальные. Значит, $$\angle 7 = 78^\circ$$.

Угол 8 равен углу 6 как вертикальные. Значит, $$\angle 8 = 24^\circ$$.

Ответ: $$\angle 1 = \angle 6 = \angle 3 = \angle 8 = 24^\circ$$, $$\angle 2 = \angle 4 = \angle 5 = \angle 7 = 78^\circ$$.

Задание 2.

Дано: $$\angle 1 = \angle 2$$, $$\angle 3 = 120^\circ$$.

Найти: $$\angle 4$$.

Решение:

Угол 3 и угол 4 - смежные, значит, в сумме составляют $$\180^\circ$$.

$$\angle 4 = 180^\circ - \angle 3 = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$.

Угол 2 равен углу 4 как соответственные. Значит, $$\angle 2 = 60^\circ$$.

Угол 1 равен углу 2, значит, $$\angle 1 = 60^\circ$$.

Ответ: $$\angle 4 = 60^\circ$$.

Задание 3.

Дано: AD - биссектриса треугольника ABC, ∠BAC = 72°.

Найти: углы треугольника ADF.

Решение:

AD - биссектриса, значит, угол BAD равен углу CAD и равен 1/2 угла BAC.

$$\angle CAD = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 72^\circ = 36^\circ$$.

DF || AB, следовательно, углы ADF и BAD равны как накрест лежащие. Значит, $$\angle ADF = \angle BAD = 36^\circ$$.

Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$. Тогда, $$\angle AFD = 180^\circ - \angle ADF - \angle DAF = 180^\circ - 36^\circ - 36^\circ = 108^\circ$$.

Ответ: $$\angle CAD = 36^\circ$$, $$\angle ADF = 36^\circ$$, $$\angle AFD = 108^\circ$$.

Задание 4.

Прямая EK является секущей для прямых CD и MN (E ∈ CD, K ∈ MN). ∠DEK равен 65°. При каком значении угла NKE прямые CD и MN могут быть параллельными?

Решение:

Если прямые CD и MN параллельны, то соответственные углы при секущей EK равны. Значит, угол DЕK должен быть равен углу EKM.

Так как $$\angle DEK = 65^\circ$$, то и $$\angle EKM = 65^\circ$$.

Угол NKE и угол EKM - смежные, значит, в сумме составляют $$180^\circ$$.

$$\angle NKE = 180^\circ - \angle EKM = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$$.

Ответ: $$\angle NKE = 115^\circ$$.