Вариант 1 1. Дано: AD - биссектриса ДА (рис. 4.169). Найти: острые углы ДАДС. 2. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника образует с гипотенузой углы, один из которых равен 70°. Найдите острые углы этого треугольника. 3. Докажите равенство прямоугольных треугольников по ка- тету и высоте, опущенной на гипотенузу. Вариант 2 1. Дано: AD - биссектриса ДА (рис. 4.170). Найти: острые углы ДАВС. 2. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипо- тенузу, образует с одним из катетов угол в 55°. Найдите острые углы этого треугольника. 3. Докажите равенство прямоугольных треугольников по ост- рому углу и высоте, опущенной на гипотенузу.

Решение варианта 1:

1. Дано: AD - биссектриса ∠A (рис. 4.169). Найти: острые углы ΔADC.

   Решение:

   Рассмотрим ΔАВС: ∠С = 90°, ∠В = 150°, тогда ∠САВ = 180° - (90° + 150°) = -60°, что не возможно, т.к. угол не может быть отрицательным.

   Предположим, что ∠ABD = 15°, тогда ∠АВC = 180° - 150° = 30°.

   ∠САВ = 180° - (90° + 30°) = 60°.

   AD - биссектриса ∠А, следовательно, ∠CAD = ∠BAD = 60° : 2 = 30°.

   Рассмотрим ΔАDC: ∠С = 90°, ∠CAD = 30°, тогда ∠ADС = 180° - (90° + 30°) = 60°.

Ответ: ∠CAD = 30°, ∠ADС = 60°.

2. Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника образует с гипотенузой углы, один из которых равен 70°. Найдите острые углы этого треугольника.

   Решение:

   Пусть дан прямоугольный треугольник АВС, ∠С = 90°, АD - биссектриса, ∠АDВ = 70°.

   Рассмотрим ΔАВD: ∠АDВ = 70°, следовательно, ∠АDС = 180° - 70° = 110°.

   АD - биссектриса, значит ∠САD = ∠ВАD = 45°.

   Рассмотрим ΔАDС: ∠АDС = 110°, ∠САD = 45°, ∠С = 90°.

   Сумма углов треугольника равна 180°, но 110° + 45° + 90° = 245°, следовательно, ∠АDВ = 70° быть не может.

   Рассмотрим ΔАВD: ∠АDВ = 70°, ∠ВАD = 45°, тогда ∠АВD = 180° - (70° + 45°) = 65°.

   В прямоугольном треугольнике АВС, ∠С = 90°, ∠А = 90°, ∠В = 65°, тогда ∠А = 90° - 65° = 25°.

Ответ: ∠В = 65°, ∠А = 25°.

3. Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и высоте, опущенной на гипотенузу.

   Решение:

   Пусть даны два прямоугольных треугольника АВС и А1В1С1, у которых ∠С = ∠С1 = 90°, АС = А1С1, ВН и В1Н1 - высоты, проведённые к гипотенузе, ВН = В1Н1. Доказать, что ΔАВС = ΔА1В1С1.

   Доказательство:

   Рассмотрим ΔАВС и ΔА1В1С1: АС = А1С1 (по условию), ∠С = ∠С1 = 90° (по условию), тогда ВС = √(АВ^2 - АС^2), В1С1 = √(А1В1^2 - А1С1^2).

   Площадь треугольника вычисляется по формуле: S = 1/2 * a * h, где a - сторона треугольника, h - высота, проведённая к этой стороне.

   S(АВС) = 1/2 * АС * ВС, S(АВС) = 1/2 * АВ * ВН.

   S(А1В1С1) = 1/2 * А1С1 * В1С1, S(А1В1С1) = 1/2 * А1В1 * В1Н1.

   Т.к. АС = А1С1, ВН = В1Н1, следовательно, 1/2 * АС * ВС = 1/2 * АВ * ВН = 1/2 * А1С1 * В1С1 = 1/2 * А1В1 * В1Н1.

   => АВ = А1В1, т.к. АС = А1С1, АВ = А1В1, ВС = В1С1, следовательно, ΔАВС = ΔА1В1С1 по трём сторонам.

Что и требовалось доказать.

Решение варианта 2:

1. Дано: AD - биссектриса ∠A (рис. 4.170). Найти: острые углы ΔАВС.

   Решение:

   Рассмотрим ΔАВС: AD - биссектриса ∠A, ∠ADB = 110°, тогда ∠ADC = 180° - 110° = 70°.

   В ΔАDС: ∠С = 90°, ∠ADC = 70°, тогда ∠DАС = 180° - (90° + 70°) = 20°.

   Т.к. AD - биссектриса ∠A, следовательно, ∠ВАС = ∠DАС * 2 = 20° * 2 = 40°.

   В ΔАВС: ∠С = 90°, ∠ВАС = 40°, тогда ∠АВС = 180° - (90° + 40°) = 50°.

Ответ: ∠ВАС = 40°, ∠АВС = 50°.

2. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, образует с одним из катетов угол в 55°. Найдите острые углы этого треугольника.

   Решение:

   Пусть дан прямоугольный треугольник АВС, ∠С = 90°, СН - высота, проведённая к гипотенузе, ∠НСА = 55°.

   В ΔСНА: ∠АНС = 90°, ∠НСА = 55°, тогда ∠САН = 180° - (90° + 55°) = 35°.

   В прямоугольном треугольнике АВС: ∠С = 90°, ∠САН = 35°, следовательно, ∠АВС = 90° - 35° = 55°.

   Рассмотрим вариант, что ∠НСВ = 55°.

   В ΔСНВ: ∠СНВ = 90°, ∠НСВ = 55°, тогда ∠СВН = 180° - (90° + 55°) = 35°.

   В прямоугольном треугольнике АВС: ∠С = 90°, ∠СВН = 35°, следовательно, ∠ВАС = 90° - 35° = 55°.

Ответ: ∠САН = 35°, ∠АВС = 55° или ∠СВН = 35°, ∠ВАС = 55°.

3. Докажите равенство прямоугольных треугольников по острому углу и высоте, опущенной на гипотенузу.

   Решение:

   Пусть даны два прямоугольных треугольника АВС и А1В1С1, у которых ∠С = ∠С1 = 90°, ∠А = ∠А1, СН и С1Н1 - высоты, проведённые к гипотенузе, СН = С1Н1. Доказать, что ΔАВС = ΔА1В1С1.

   Доказательство:

   Рассмотрим ΔАВС и ΔА1В1С1: ∠С = ∠С1 = 90°, ∠А = ∠А1 (по условию), следовательно, ∠В = ∠В1 (т.к. сумма углов треугольника равна 180°).

   Рассмотрим ΔАСН и ΔА1С1Н1: ∠АНС = ∠А1Н1С1 = 90°, ∠А = ∠А1 (по условию), СН = С1Н1 (по условию), следовательно, ΔАСН = ΔА1С1Н1 по катету и прилежащему острому углу.

   => АС = А1С1.

   Рассмотрим ΔАВС и ΔА1В1С1: ∠С = ∠С1 = 90°, ∠А = ∠А1 (по условию), АС = А1С1, следовательно, ΔАВС = ΔА1В1С1 по катету и прилежащему острому углу.

Что и требовалось доказать.