Вариант 1 1. Дано: АО = BO, CO = DO, СО = 5 см, ВО 3 см, BD4 см С (рис. 2.212). Найти: Периметр ДСАО. 2. В равнобедренном треугольнике АВС точки Ки М явля ются серединами боковых сторон АВ и ВС соответственно. BD медиана треугольника. Докажите, что ДВКD = ABMD. 3. Даны неразвернутый угол и отрезок. На сторонах данного угла постройте точки, удаленные от вершины угла на расстояние, равное половине данного отрезка. 4*. Прямая МК разбивает плоскость на две полуплоскости. Из точек Ми К в разные полуплоскости проведены равные от- резки МА и КВ, причем ДАМК - ВКМ. Какие из высказываний верные? α) ΔΑΜΒ = ΔΑΚΒ; 6) ZAKM ZBMK; Β) ΔΜΚΑ = ΔΚΜΒ; r) ZAMB = ZKMB. 0 Рис. 2.212 B D

Задание 1

Дано: AO = BO, CO = DO, CO = 5 см, BO = 3 см, BD = 4 см

Найти: Периметр ΔCAO

Решение:

Из условия задачи следует, что AO = BO = 3 см и CO = DO = 5 см.

Периметр треугольника CAO равен сумме длин его сторон: CA + AO + CO.

Найдем длину стороны CA. Треугольники AOB и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (AO = BO, CO = DO, ∠AOB = ∠DOC как вертикальные углы). Следовательно, CA = BD = 4 см.

Периметр ΔCAO = CA + AO + CO = 4 см + 3 см + 5 см = 12 см.

Ответ: 12 см

Задание 2

Дано: ΔABC - равнобедренный, AK = KB, BM = MC, BD - медиана.

Доказать: ΔBKD = ΔBMD.

Доказательство:

Так как ΔABC равнобедренный, то AB = BC и ∠A = ∠C.

Поскольку AK = KB и BM = MC, то BK = AB/2 и BM = BC/2. Следовательно, BK = BM.

BD - медиана, значит, AD = DC.

Рассмотрим треугольники ABD и CBD. Они равны по трем сторонам (AB = BC, AD = DC, BD - общая).

Следовательно, ∠ABD = ∠CBD.

Рассмотрим треугольники BKD и BMD. У них BK = BM, BD - общая сторона, и ∠KBD = ∠MBD (так как ∠ABD = ∠CBD).

Следовательно, ΔBKD = ΔBMD по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: ΔBKD = ΔBMD доказано.

Задание 3

Для построения точек на сторонах угла, удаленных от вершины угла на расстояние, равное половине данного отрезка, выполните следующие шаги:

1. Измерьте длину отрезка.
2. Разделите длину отрезка на два, чтобы получить половину длины отрезка.
3. С помощью циркуля отложите полученное расстояние на каждой из сторон угла, начиная от вершины угла.
4. Отметьте полученные точки. Эти точки будут удалены от вершины угла на расстояние, равное половине данного отрезка.

Ответ: Построение выполнено.

Задание 4

Дано: Прямая MK разбивает плоскость на две полуплоскости. Из точек M и K в разные полуплоскости проведены равные отрезки MA и KB, причем ∠AMK = ∠BKM.

Определим, какие из высказываний верные.

α) ΔΑΜΒ = ΔΑΚΒ:

Чтобы доказать равенство треугольников, нам нужно больше информации. Пока недостаточно данных.

6) ∠AKM = ∠BMK:

Нам нужно больше данных, чтобы это утверждать.

Β) ΔΜΚΑ = ΔΚΜΒ:

Так как MA = KB и ∠AMK = ∠BKM, и MK - общая сторона, то ΔMKA = ΔKMB по двум сторонам и углу между ними.

г) ∠AMB = ∠KMB:

Если ΔMKA = ΔKMB, то ∠AMK = ∠BMK. Это верно, но требует доказательства равенства треугольников.

Ответ: Β) ΔΜΚΑ = ΔΚΜΒ.