Вариант 1 1. Дано: LA=L В равны, АО= 7см, СО=3см, OD=9см. (рис) Найти а) ОВ; б) BD:AC, B) SAOC:SBOD 2. В ДАВС АВ=12см, ВС=18см, В=70°, а в ДММК MN=6см, К=9см, L=70°. Найдите сторону АС и угол С треугольника АВС, если МК-7см, К=60° 3. Прямая пересекает стороны треугольника MNK в точка F и Е соответственно, так что NK || EF, ME:EK=1:3. Найдите периметр треугольника MNK, если периметр треугольника MFE равен 16см. 4. Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна четырем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь?

1. Дано: ∠A=∠B, AO=7 см, CO=3 см, OD=9 см.

Найти: a) OB; б) BD:AC; в) $$\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}}$$.

Решение:

a) Рассмотрим треугольники AOC и BOD. ∠A = ∠B (по условию), ∠AOC = ∠BOD (как вертикальные). Следовательно, треугольники AOC и BOD подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $$\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$$.

Подставим известные значения: $$\frac{7}{BO} = \frac{3}{9}$$.

Решим уравнение относительно BO: $$BO = \frac{7 \cdot 9}{3} = \frac{63}{3} = 21 \text{ см}$$.

б) Из подобия треугольников следует, что $$\frac{BD}{AC} = \frac{OD}{OC} = \frac{OB}{OA}$$.

$$AC = AO + OC = 7 + 3 = 10$$

$$\frac{BD}{AC} = \frac{9}{3} = 3$$

в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

$$k = \frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$.

$$\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = k^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$$.

Ответ: a) OB = 21 см; б) BD:AC = 3; в) $$\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = \frac{1}{9}$$

2. В ΔABC AB=12 см, BC=18 см, ∠B=70°, а в ΔMNK MN=6 см, NK=9 см, ∠N=70°. Найдите сторону AC и угол C треугольника ABC, если MK=7 см, ∠K=60°

Рассмотрим треугольники ABC и MNK.

$$\frac{AB}{MN} = \frac{12}{6} = 2$$.

$$\frac{BC}{NK} = \frac{18}{9} = 2$$.

$$\angle B = \angle N = 70^{\circ}$$.

Следовательно, треугольники ABC и MNK подобны по двум сторонам и углу между ними (второй признак подобия треугольников).

Коэффициент подобия k=2.

Значит, $$AC = MK \cdot k = 7 \cdot 2 = 14 \text{ см}$$.

Из подобия треугольников следует, что $$\angle K = \angle C = 60^{\circ}$$.

Ответ: AC = 14 см; ∠C = 60°

3. Прямая пересекает стороны треугольника MNK в точка F и E соответственно, так что NK || EF, ME:EK=1:3.

Найдите периметр треугольника MNK, если периметр треугольника MFE равен 16см.

Так как NK || EF, то треугольники MNK и MFE подобны (по двум углам: ∠M общий, ∠N = ∠F, ∠K = ∠E как соответственные при параллельных прямых NK и EF и секущей MK и NK и EF и секущей MN).

Из условия ME:EK=1:3 следует, что ME:MK = 1:(1+3) = 1:4.

Коэффициент подобия k = $$\frac{ME}{MK} = \frac{MF}{MN} = \frac{FE}{NK} = \frac{1}{4}$$.

Периметр треугольника MFE = 16 см. $$P_{MFE} = MF + FE + EM = 16 \text{ см}$$.

$$P_{MNK} = MN + NK + MK$$.

$$MN = MF \cdot 4$$

$$NK = FE \cdot 4$$

$$MK = EM \cdot 4$$

$$P_{MNK} = 4 \cdot (MF + FE + EM) = 4 \cdot P_{MFE} = 4 \cdot 16 = 64 \text{ см}$$.

Ответ: 64 см

4. Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 8 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна четырем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь?

Пусть h - высота фонаря, x - расстояние от человека до столба (8 шагов), y - длина тени человека (4 шага), a - рост человека (1,7 м).

Используем подобие треугольников: маленький треугольник (человек и его тень) подобен большому треугольнику (фонарь и сумма расстояния от человека до столба и его тени).

$$\frac{h}{a} = \frac{x+y}{y}$$.

$$\frac{h}{1.7} = \frac{8+4}{4}$$.

$$\frac{h}{1.7} = \frac{12}{4}$$.

$$h = 1.7 \cdot 3 = 5.1 \text{ м}$$.

Ответ: 5.1 м