Вариант 1 1. Дано: ОАВ: UAC = 3: 2, ∠A = 50° (рис. 8.64). Найти: ДВ, ∠C, ∠BOC. 2. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите CD, если C = 4 см, ВЕ = 9 см, а длина СЕ в 4 раза больше длины DE.

Договорились! Сейчас решим эту геометрию.

Решение задачи №1:

1. Обозначим ∠UAB = 3x, ∠UAC = 2x. Тогда ∠A = ∠UAB + ∠UAC = 3x + 2x = 5x.
   По условию ∠A = 50°, значит, 5x = 50°, откуда x = 10°.
   ∠UAB = 3 * 10° = 30° и ∠UAC = 2 * 10° = 20°.
2. Сумма углов треугольника равна 180°. В треугольнике ABC: ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
   ∠B + ∠C = 180° - ∠A = 180° - 50° = 130°.
3. ∠UAB является вписанным углом, опирающимся на дугу BU. Значит, дуга BU равна 2 * ∠UAB = 2 * 30° = 60°.
   ∠UAC является вписанным углом, опирающимся на дугу UC. Значит, дуга UC равна 2 * ∠UAC = 2 * 20° = 40°.
4. ∠BOC — центральный угол, опирающийся на дугу BC. Дуга BC = дуга BU + дуга UC = 60° + 40° = 100°.
   ∠BOC = 100°.
5. Так как углы ∠B и ∠C опираются на дуги UC и BU соответственно, то ∠C = ∠UAB = 30°, ∠B = ∠UAC = 20°.

Ответ: ∠B = 20°, ∠C = 30°, ∠BOC = 100°.

Решение задачи №2:

1. По условию CE = 4DE.
2. По свойству пересекающихся хорд: AE * BE = CE * DE.
3. AE = AC + CE = 4 + CE, BE = 9 см.
4. Подставим CE = 4DE в уравнение: 4 * 9 = 4DE * DE.
5. 36 = 4(DE)^2.
6. (DE)^2 = 9.
7. DE = 3 см.
8. CE = 4 * 3 = 12 см.
9. CD = CE + DE = 12 + 3 = 15 см.

Ответ: CD = 15 см.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что найденные углы соответствуют заданному соотношению и сумме углов в треугольнике, а длины отрезков хорд удовлетворяют свойству пересекающихся хорд.

Доп. профит: База: Знание основных теорем и свойств геометрии помогает решать задачи быстро и эффективно.