Вариант 2 1. Дано: РЕ || NK, MP = 8, MN = 12, МЕ = 6 (рис. 7.55). Найти: а) МК; б) PE : NK; в) S MPE: SMNK 2. В ДАВС AB = 12 см, ВС = 18 см, ∠B = 70°, а в ДMNK MN = 6 см, NК = 9 см, ZN = 70°. Найдите сторону АС и угол С треугольника АВС, если МК = 7 см, ∠K = 60°. 3. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О так, что ∠ACO = = ∠BDO, AO : OB = 2 : 3. Найдите периметр треугольника АСО, если периметр треугольника BOD равен 21 см. 4*. В трапеции ABCD (AD и ВС основания) диагонали пересе- каются в точке O, SAOD = 32 см², Ѕвос = 8 см². Найдите меньшее основание трапеции, если большее из них равно 10 см. BOC

Задание 1

а) Найдем MK.

Так как PE || NK, то треугольники MPE и MNK подобны по двум углам (угол M общий, углы при PE и NK равны как соответственные).

Значит, \[\frac{MP}{MN} = \frac{ME}{MK}\]

Подставляем известные значения: \[\frac{8}{12} = \frac{6}{MK}\]

Решаем пропорцию: \[MK = \frac{6 \cdot 12}{8} = 9\]

б) Найдем PE : NK.

Из подобия треугольников MPE и MNK следует, что \[\frac{PE}{NK} = \frac{MP}{MN}\]

Подставляем известные значения: \[\frac{PE}{NK} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\]

в) Найдем S_MPE : S_MNK.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их соответствующих сторон.

Значит, \[\frac{S_{MPE}}{S_{MNK}} = \left(\frac{MP}{MN}\right)^2 = \left(\frac{8}{12}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\]

Ответ: а) MK = 9; б) PE : NK = 2/3; в) S_MPE : S_MNK = 4/9

Задание 2

Рассмотрим треугольники ABC и MNK.

AB = 12 см, BC = 18 см, ∠B = 70°

MN = 6 см, NK = 9 см, ∠N = 70°

Заметим, что \[\frac{AB}{MN} = \frac{12}{6} = 2\] и \[\frac{BC}{NK} = \frac{18}{9} = 2\]

Так как две стороны треугольника ABC пропорциональны двум сторонам треугольника MNK, и углы между этими сторонами равны (∠B = ∠N = 70°), то треугольники ABC и MNK подобны по второму признаку подобия треугольников.

Следовательно, \[\frac{AC}{MK} = 2\]

Если MK = 7 см, то AC = 2 * 7 = 14 см.

Также, так как треугольники подобны, то ∠C = ∠K = 60°.

Ответ: AC = 14 см, ∠C = 60°

Задание 3

Рассмотрим треугольники ACO и BDO.

∠ACO = ∠BDO (дано)

∠AOC = ∠BOD (как вертикальные)

Следовательно, треугольники ACO и BDO подобны по двум углам.

Значит, \[\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO} = \frac{AC}{BD} = \frac{2}{3}\]

Пусть AO = 2x, BO = 3x, CO = 2y, DO = 3y, AC = 2z, BD = 3z.

Периметр треугольника BOD равен BO + OD + BD = 3x + 3y + 3z = 21 см.

Тогда x + y + z = 7 см.

Периметр треугольника ACO равен AO + OC + AC = 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z) = 2 * 7 = 14 см.

Ответ: Периметр треугольника ACO равен 14 см.

Задание 4

В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке O.

S_AOD = 32 см², S_BOC = 8 см².

AD = 10 см (большее основание).

Треугольники AOD и BOC подобны (по двум углам, образованным диагоналями и основаниями).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Значит, \[\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = k^2\]

Подставляем значения: \[\frac{32}{8} = k^2\]

k² = 4, следовательно, k = 2.

Так как k = \[\frac{AD}{BC}\] , то \[\frac{10}{BC} = 2\]

BC = \[\frac{10}{2} = 5\] см.

Ответ: Меньшее основание трапеции равно 5 см.

Ответ: Решения задач выше.