Вариант 1 1. Дано: ВАД = LBCD = 90°, LADB = 15°, ∠BDC = 75° аис. 4.245). Доказать: AD || BC. 2. B треугольнике ABC ∠C = 60°, ∠B = 90°. Высота ВВ, равна 1см. Найти: АВ. 3. Постройте равнобедренный треугольник по основанию высоте, проведенной к нему из вершины треугольника. 4*. С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный 70°

1. Доказательство AD || BC

1. Дано: \( \angle BAD = \angle BCD = 90^\circ \), \( \angle ADB = 15^\circ \), \( \angle BDC = 75^\circ \).
2. Найти: Доказать, что AD || BC.
3. Решение:
   • Сначала найдем угол \( \angle ADC \):
     \[ \angle ADC = \angle ADB + \angle BDC = 15^\circ + 75^\circ = 90^\circ \]
   • Теперь рассмотрим четырехугольник ABCD. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°:
     \[ \angle ABC + \angle BCD + \angle ADC + \angle BAD = 360^\circ \]
   • Подставим известные значения углов:
     \[ \angle ABC + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 360^\circ \]
     \[ \angle ABC = 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ \]
   • Так как \( \angle BAD = \angle BCD = 90^\circ \) и \( \angle ABC = \angle ADC = 90^\circ \), мы имеем два прямых угла.
   • Рассмотрим углы \( \angle ADB \) и \( \angle DBC \). Если они равны, то AD || BC.
     \[ \angle DBC = \angle ABC - \angle ABD = 90^\circ - \angle ABD \]
   • Угол \( \angle ABD \) можно найти из треугольника ABD, где сумма углов равна 180°:
     \[ \angle ABD = 180^\circ - \angle BAD - \angle ADB = 180^\circ - 90^\circ - 15^\circ = 75^\circ \]
   • Теперь найдем угол \( \angle DBC \):
     \[ \angle DBC = 90^\circ - 75^\circ = 15^\circ \]
   • Так как \( \angle ADB = \angle DBC = 15^\circ \), то AD || BC (внутренние накрест лежащие углы равны).

Ответ: AD || BC доказано.

2. Найти AB

1. Дано: В треугольнике ABC \( \angle C = 60^\circ \), \( \angle B = 90^\circ \), высота BB₁ = 1 см.
2. Найти: AB.
3. Решение:
   • В прямоугольном треугольнике ABC угол \( \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
   • Рассмотрим треугольник BB₁C, где BB₁ — высота, опущенная на сторону AC.
   • В прямоугольном треугольнике BB₁C, \( \angle C = 60^\circ \), значит, \( \angle BB_1C = 90^\circ \) и \( \angle B_1BC = 30^\circ \).
   • Используем синус угла C:
     \[ \sin(\angle C) = \frac{BB_1}{BC} \]
     \[ BC = \frac{BB_1}{\sin(\angle C)} = \frac{1}{\sin(60^\circ)} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \]
   • Теперь найдем AB, используя тангенс угла C:
     \[ \tan(\angle C) = \frac{AB}{BC} \]
     \[ AB = BC \cdot \tan(\angle C) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \tan(60^\circ) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2 \]

Ответ: AB = 2 см.

3. Построение равнобедренного треугольника

1. Нарисуйте основание.
2. Проведите высоту к основанию.
3. От вершины проведите боковые стороны к концам основания.

4. Построение угла 70° с помощью циркуля и линейки

К сожалению, построить угол в 70° точно, используя только циркуль и линейку, невозможно. Обычно для этого используют транспортир или другие инструменты.