Вариант 1 1. Дано: ВО = DO, ZABC = 45°, ∠BCD = 55°, ∠AOC = 100° (рис. 5.89). Найти: ∠D. Доказать: ДАΒΟ = ACDO. 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 42°. Найти: Два других угл треугольника АВС. 3. Точки В и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольники АВС и ADC — равносторонние. Доказать: АВ || CD. 4. * Дано: ∠EPM = 90°, ∠MEP = 30°, МЕ = 10 см (рис. 5.90). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ЕР? б) Найдите длину медианы PD.

Задание 1

Давай решим задачу по геометрии.

Для решения данной задачи нам потребуется знание свойств углов и треугольников.

К сожалению, рисунок 5.89 отсутствует, что делает невозможным точное решение задачи. Однако, я могу предоставить общий подход к решению:

1. Найти ∠D:
2. Используйте свойства углов в треугольнике и четырехугольнике.
3. Если известны какие-либо соотношения между углами, выразите ∠D через известные углы.
4. Доказать: ΔABO = ΔCDO:
5. Используйте признаки равенства треугольников (например, по двум сторонам и углу между ними, или по стороне и двум прилежащим углам).
6. Покажите, что соответствующие стороны и углы треугольников ABO и CDO равны.

Задание 2

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC угол B равен 42°. Найти два других угла треугольника ABC.

Решение:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
2. Пусть ∠A и ∠C - углы при основании AC.
3. Тогда ∠A = ∠C.
4. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
5. ∠A + ∠B + ∠C = 180°
6. Так как ∠A = ∠C, можем записать:
7. 2∠A + ∠B = 180°
8. 2∠A + 42° = 180°
9. 2∠A = 180° - 42°
10. 2∠A = 138°
11. ∠A = 138° / 2
12. ∠A = 69°
13. Следовательно, ∠C = 69°

Ответ: ∠A = 69°, ∠C = 69°

Задание 3

Точки B и D лежат в разных полуплоскостях относительно прямой AC. Треугольники ABC и ADC – равносторонние. Доказать: AB || CD.

Решение:

1. Так как треугольники ABC и ADC равносторонние, все их углы равны 60°.
2. ∠BAC = ∠BCA = ∠CAD = ∠CDA = 60°
3. Рассмотрим углы ∠BAD и ∠BCD:
4. ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 60° + 60° = 120°
5. ∠BCD = ∠BCA + ∠DCA = 60° + 60° = 120°
6. Теперь рассмотрим четырехугольник ABCD. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.
7. ∠ABC + ∠BAD + ∠CDA + ∠BCD = 360°
8. 60° + 120° + 60° + 120° = 360°
9. Так как ∠BAC = ∠ACD = 60°, то накрест лежащие углы при прямых AB и CD и секущей AC равны.
10. Следовательно, AB || CD (по признаку параллельности прямых).

Ответ: AB || CD

Задание 4

Дано: ∠EPM = 90°, ∠MEP = 30°, ME = 10 см (рис. 5.90).

а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка EP?

б) Найдите длину медианы PD.

Решение:

а) Рассмотрим прямоугольный треугольник EPM.

1. Используем тригонометрические функции для нахождения EP:
2. cos(∠MEP) = EP / ME
3. cos(30°) = EP / 10
4. EP = 10 * cos(30°)
5. cos(30°) = √3 / 2
6. EP = 10 * (√3 / 2)
7. EP = 5√3
8. Приближенное значение √3 ≈ 1.732
9. EP ≈ 5 * 1.732
10. EP ≈ 8.66
11. Таким образом, длина отрезка EP заключена между целыми числами 8 и 9.

Ответ: Длина отрезка EP заключена между числами 8 и 9.

б) Найдите длину медианы PD.

Для решения этой задачи нам нужно больше информации о точке D. Без дополнительных данных о расположении точки D и её связи с треугольником EPM, невозможно точно определить длину медианы PD.

Надеюсь, что мои объяснения помогут тебе разобраться с этими задачами! У тебя все получится!