Вариант 2. 1.1. Даны две параллельные плоскости а и ви не лежащая между ними точка Р. Две прямые, проходящие через точку Р, пересекают ближнюю к точке Р плоскость а в точках А1 и А2, а дальнюю плоскость в в точках В1 и В2. Найдите длину отрезка В1В2, если А1А2-6см и А1Р:А1В1-3:2. 2. Какую длину должна иметь перекладина, чтобы её можно было положить на две вертикальные опоры высотой 9м и 5м, поставленные на расстояние 3м одна от другой. 3. Из вершины В прямоугольника АВСД со сторонами ВС=3см и АВ=6см к его плоскости проведён перпендикуляр ВМ=3 13 см. Найдите площадь треугольника ДСМ.

Привет! Разберём задачи из твоего варианта.

Задание 1

Логика такая:

1. Так как плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны, то по теореме о пропорциональных отрезках: \[\frac{A_1P}{A_1B_1} = \frac{A_2P}{A_2B_2} = \frac{3}{2}\]
2. Заметим, что треугольники \(A_1PA_2\) и \(B_1PB_2\) подобны (по двум углам). Следовательно, \[\frac{A_1A_2}{B_1B_2} = \frac{A_1P}{B_1P}\]
3. Выразим \(B_1P\) через \(A_1P\). Зная, что \(\frac{A_1P}{A_1B_1} = \frac{3}{2}\), можно записать, что \(A_1B_1 = \frac{2}{3}A_1P\). Тогда, \[B_1P = A_1B_1 + A_1P = \frac{2}{3}A_1P + A_1P = \frac{5}{3}A_1P\]
4. Подставим найденное выражение в отношение подобия: \[\frac{A_1A_2}{B_1B_2} = \frac{A_1P}{\frac{5}{3}A_1P} = \frac{3}{5}\]
5. Теперь найдём длину отрезка \(B_1B_2\), зная, что \(A_1A_2 = 6\) см: \[\frac{6}{B_1B_2} = \frac{3}{5}\] \[B_1B_2 = \frac{6 \cdot 5}{3} = 10\text{ см}\]

Задание 2

Смотри, тут всё просто:

1. Представим ситуацию как прямоугольный треугольник, где:
   • катеты: разница в высоте опор (\(9 - 5 = 4\) м) и расстояние между опорами (\(3\) м)
   • гипотенуза: длина перекладины
2. Применим теорему Пифагора: \[L = \sqrt{(9 - 5)^2 + 3^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\text{ м}\]

Задание 3

Разбираемся:

1. Найдём длину стороны \(DM\) треугольника \(DCM\). Треугольник \(ABM\) — прямоугольный, тогда \(AM = \sqrt{AB^2 + BM^2} = \sqrt{6^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 27} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}\).
2. Тогда \(AD = BC = 3\) и \(DM = AM - AD = 3\sqrt{7} - 3 = 3(\sqrt{7} - 1)\).
3. Найдём длину стороны \(CM\) треугольника \(DCM\). Треугольник \(BCM\) — прямоугольный, тогда \(CM = \sqrt{BC^2 + BM^2} = \sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6\).
4. Найдём площадь треугольника \(DCM\) по формуле Герона. Полупериметр \(p = \frac{DC + CM + DM}{2} = \frac{6 + 6 + 3\sqrt{7} - 3}{2} = \frac{9 + 3\sqrt{7}}{2}\).
5. Площадь \(S = \sqrt{p(p - DC)(p - CM)(p - DM)} = \sqrt{\frac{9 + 3\sqrt{7}}{2} \cdot \frac{-3 + 3\sqrt{7}}{2} \cdot \frac{9 + 3\sqrt{7} - 12}{2} \cdot \frac{9 + 3\sqrt{7} - 3\sqrt{7} + 3}{2}} = \sqrt{\frac{9 + 3\sqrt{7}}{2} \cdot \frac{-3 + 3\sqrt{7}}{2} \cdot \frac{-3 + 3\sqrt{7}}{2} \cdot \frac{12}{2}} = 9\sqrt{6}\).
6. Следовательно, площадь треугольника \(DCM = 9\sqrt{6}\) см².

Ответ: 1) 10 см; 2) 5 м; 3) \(9\sqrt{6}\) см²

Проверка за 10 секунд: Убедись, что применил теоремы о пропорциональных отрезках, Пифагора и формулу Герона корректно. Пересчитай значения, чтобы избежать ошибок.

Запомни: Теорема о пропорциональных отрезках и теорема Пифагора — ключевые инструменты для решения задач в геометрии. Формула Герона поможет найти площадь треугольника, зная все его стороны.