Вариант 2 1. Даны точки А (2; −1), С (3; 2) и D (-3; 1). Найдите: 1) координаты векторов ACAD; 2) модули векторов Аси AD 3) координаты вектора EF=3AC-2AD; 4) скалярное произведение векторов ACUAD; 5) косинус угла между векторами AC и AD 2. Начертите треугольник АВС. Постройте вектор: 1) AC+CB; 2) BA-BC; 3) AC+AB. 3. Даны векторы (3;-4) и (т;9). При каком значении т векторы перпендикулярны? 4. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки М и Р так, что ВМ: МС=2:5, CP: PD= 3 : 1. Выразите вектор МР через векторы АВ=ћи AD=b.

Вариант 2

1. Даны точки A(2; -1), C(3; 2) и D(-3; 1). Найдите:

1) координаты векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AD}\);

Координаты вектора находятся вычитанием из координат конца вектора, координаты начала вектора.

\(\overrightarrow{AC} = (3 - 2; 2 - (-1)) = (1; 3)\)

\(\overrightarrow{AD} = (-3 - 2; 1 - (-1)) = (-5; 2)\)

Ответ: \(\overrightarrow{AC} (1; 3)\), \(\overrightarrow{AD} (-5; 2)\)

2) модули векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AD}\);

Модуль вектора находится по формуле: \(|\overrightarrow{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\), где \(x\) и \(y\) - координаты вектора.

\(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}\)

\(|\overrightarrow{AD}| = \sqrt{(-5)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}\)

Ответ: \(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{10}\), \(|\overrightarrow{AD}| = \sqrt{29}\)

3) координаты вектора \(\overrightarrow{EF} = 3\overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{AD}\);

Умножение вектора на число: умножаем каждую координату вектора на это число.

\(3\overrightarrow{AC} = (3 \cdot 1; 3 \cdot 3) = (3; 9)\)

\(2\overrightarrow{AD} = (2 \cdot (-5); 2 \cdot 2) = (-10; 4)\)

Вычитание векторов: вычитаем соответствующие координаты векторов.

\(\overrightarrow{EF} = (3 - (-10); 9 - 4) = (13; 5)\)

Ответ: \(\overrightarrow{EF} (13; 5)\)

4) скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AD}\);

Скалярное произведение векторов находится по формуле: \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2\), где \(x_1, y_1\) и \(x_2, y_2\) - координаты векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) соответственно.

\(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = 1 \cdot (-5) + 3 \cdot 2 = -5 + 6 = 1\)

Ответ: 1

5) косинус угла между векторами \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AD}\).

Косинус угла между векторами находится по формуле: \(\cos{\alpha} = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|}\), где \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\) - скалярное произведение векторов, \(|\overrightarrow{a}|\) и \(|\overrightarrow{b}|\) - модули векторов.

\(\cos{\alpha} = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{29}} = \frac{1}{\sqrt{290}}\)

Ответ: \(\frac{1}{\sqrt{290}}\)

2. Начертите треугольник ABC. Постройте вектор:

1) \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}\);

По правилу сложения векторов, если начало второго вектора совпадает с концом первого, то суммой векторов является вектор, соединяющий начало первого вектора и конец второго вектора, значит:

\(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}\)

2) \(\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC}\);

Чтобы найти разность векторов, нужно из координат конца первого вектора вычесть координаты конца второго вектора. Разность векторов \(\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC}\) равна сумме векторов \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CB}\).

Воспользуемся правилом параллелограмма: отложим от точки B векторы \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\), достроим до параллелограмма, тогда вектор, выходящий из точки B и являющийся диагональю параллелограмма, будет суммой векторов \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CB}\).

3) \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}\).

Воспользуемся правилом параллелограмма: отложим от точки A векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AB}\), достроим до параллелограмма, тогда вектор, выходящий из точки A и являющийся диагональю параллелограмма, будет суммой векторов \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}\).

      A
     / \
    /   \
   /     \
  B-------C

3. Даны векторы \(\overrightarrow{a}(3; -4)\) и \(\overrightarrow{b}(m; 9)\). При каком значении m векторы перпендикулярны?

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

\(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = 3 \cdot m + (-4) \cdot 9 = 0\)

\(3m - 36 = 0\)

\(3m = 36\)

\(m = 12\)

Ответ: m = 12

4. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки M и P так, что BM : MC = 2 : 5, CP : PD = 3 : 1. Выразите вектор \(\overrightarrow{MP}\) через векторы \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}\).

Так как BM : MC = 2 : 5, то \(\overrightarrow{BM} = \frac{2}{7} \overrightarrow{BC} = \frac{2}{7} \overrightarrow{AD} = \frac{2}{7} \overrightarrow{b}\)

Так как CP : PD = 3 : 1, то \(\overrightarrow{CP} = \frac{3}{4} \overrightarrow{CD} = \frac{3}{4} (-\overrightarrow{AB}) = -\frac{3}{4} \overrightarrow{a}\)

Представим вектор \(\overrightarrow{MP}\) как \(\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CP}\)

\(\overrightarrow{MC} = \frac{5}{7} \overrightarrow{BC} = \frac{5}{7} \overrightarrow{AD} = \frac{5}{7} \overrightarrow{b}\)

Тогда, \(\overrightarrow{MP} = \frac{5}{7} \overrightarrow{b} - \frac{3}{4} \overrightarrow{a} = -\frac{3}{4} \overrightarrow{a} + \frac{5}{7} \overrightarrow{b}\)

Ответ: \(\overrightarrow{MP} = -\frac{3}{4} \overrightarrow{a} + \frac{5}{7} \overrightarrow{b}\)