Вариант 1 1. Даны точки А (-3; 1), В (1; -2) и С (-1; 0). Найдите: 1) координаты векторов АВИ АС; 2) модули векторов Ави АС; 3) координаты вектора МК=2АВ-3 АС; 4) скалярное произведение векторов АВU AC; 5) косинус угла между векторами АВи АC 2. Начертите треугольник АВС. Постройте вектор: 1) AB+BC; 2) AC-AB; 3) CA+CB 3. Даны векторы № 4;14 и 7-7;k. При каком значении к векторы тий перпендикулярны? 4. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки Ми Р так, что ВМ: МС 2:5, CP: PD=3:1. Выразите вектор МР через векторы АВ=auAD=b

Вариант 1

1. Даны точки A(-3; 1), B(1; -2) и C(-1; 0). Найдите:

1) координаты векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\);

Координаты вектора находятся вычитанием из координат конца вектора, координаты начала вектора.

\(\overrightarrow{AB} = (1 - (-3); -2 - 1) = (4; -3)\)

\(\overrightarrow{AC} = (-1 - (-3); 0 - 1) = (2; -1)\)

Ответ: \(\overrightarrow{AB} (4; -3)\), \(\overrightarrow{AC} (2; -1)\)

2) модули векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\);

Модуль вектора находится по формуле: \(|\overrightarrow{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\), где \(x\) и \(y\) - координаты вектора.

\(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\)

\(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\)

Ответ: \(|\overrightarrow{AB}| = 5\), \(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{5}\)

3) координаты вектора \(\overrightarrow{MK} = 2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}\);

Умножение вектора на число: умножаем каждую координату вектора на это число.

\(2\overrightarrow{AB} = (2 \cdot 4; 2 \cdot (-3)) = (8; -6)\)

\(3\overrightarrow{AC} = (3 \cdot 2; 3 \cdot (-1)) = (6; -3)\)

Вычитание векторов: вычитаем соответствующие координаты векторов.

\(\overrightarrow{MK} = (8 - 6; -6 - (-3)) = (2; -3)\)

Ответ: \(\overrightarrow{MK} (2; -3)\)

4) скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\);

Скалярное произведение векторов находится по формуле: \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2\), где \(x_1, y_1\) и \(x_2, y_2\) - координаты векторов \(\overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{b}\) соответственно.

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \cdot 2 + (-3) \cdot (-1) = 8 + 3 = 11\)

Ответ: 11

5) косинус угла между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\)

Косинус угла между векторами находится по формуле: \(\cos{\alpha} = \frac{\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}|}\), где \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}\) - скалярное произведение векторов, \(|\overrightarrow{a}|\) и \(|\overrightarrow{b}|\) - модули векторов.

\(\cos{\alpha} = \frac{11}{5 \cdot \sqrt{5}} = \frac{11}{5\sqrt{5}} = \frac{11\sqrt{5}}{25}\)

Ответ: \(\frac{11\sqrt{5}}{25}\)

2. Начертите треугольник ABC. Постройте вектор:

1) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\);

По правилу сложения векторов, если начало второго вектора совпадает с концом первого, то суммой векторов является вектор, соединяющий начало первого вектора и конец второго вектора, значит:

\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)

2) \(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\);

Чтобы найти разность векторов, нужно из координат конца первого вектора вычесть координаты конца второго вектора:

\(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}\)

3) \(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}\)

Чтобы найти сумму этих векторов, нужно воспользоваться правилом параллелограмма: отложить от точки С векторы \(\overrightarrow{CA}\) и \(\overrightarrow{CB}\), достроить до параллелограмма, тогда вектор, выходящий из точки С и являющийся диагональю параллелограмма, будет суммой векторов \(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}\).

      A
     / \
    /   \
   /     \
  B-------C

3. Даны векторы \(\overrightarrow{m}(4; 14)\) и \(\overrightarrow{n}(-7; k)\). При каком значении k векторы \(\overrightarrow{m}\) и \(\overrightarrow{n}\) перпендикулярны?

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

\(\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} = 4 \cdot (-7) + 14 \cdot k = 0\)

\(-28 + 14k = 0\)

\(14k = 28\)

\(k = 2\)

Ответ: k = 2

4. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки M и P так, что BM : MC = 2 : 5, CP : PD = 3 : 1. Выразите вектор \(\overrightarrow{MP}\) через векторы \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}\) и \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{b}\).

Так как BM : MC = 2 : 5, то \(\overrightarrow{BM} = \frac{2}{7} \overrightarrow{BC} = \frac{2}{7} \overrightarrow{AD} = \frac{2}{7} \overrightarrow{b}\)

Так как CP : PD = 3 : 1, то \(\overrightarrow{CP} = \frac{3}{4} \overrightarrow{CD} = \frac{3}{4} (-\overrightarrow{AB}) = -\frac{3}{4} \overrightarrow{a}\)

Представим вектор \(\overrightarrow{MP}\) как \(\overrightarrow{MP} = \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{CP}\)

\(\overrightarrow{MC} = \frac{5}{7} \overrightarrow{BC} = \frac{5}{7} \overrightarrow{AD} = \frac{5}{7} \overrightarrow{b}\)

Тогда, \(\overrightarrow{MP} = \frac{5}{7} \overrightarrow{b} - \frac{3}{4} \overrightarrow{a} = -\frac{3}{4} \overrightarrow{a} + \frac{5}{7} \overrightarrow{b}\)

Ответ: \(\overrightarrow{MP} = -\frac{3}{4} \overrightarrow{a} + \frac{5}{7} \overrightarrow{b}\)