Вариант 1 1. Даны точки А(-3;1), В(1;-2) и С (-1;0) Найдите: → 1) координаты векторов АВ И АС ← 2) модули векторов АВ и АС ← 3) координаты векторов МК = 2 AB - 3 AC ←← 4) скалярное произведение векторов АВ И АС ←← 5) косинус угла между векторами АВ И АС 2. Даны векторы т (4;14) и п (-7;k). При каком значен 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны?

Привет! Давай вместе решим эту задачу.

1. Координаты векторов \[\overrightarrow{AB}\] и \[\overrightarrow{AC}\]

• \[\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (1 - (-3), -2 - 1) = (4, -3)\]
• \[\overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A) = (-1 - (-3), 0 - 1) = (2, -1)\]

2. Модули векторов \[\overrightarrow{AB}\] и \[\.overrightarrow{AC}\]

• \[|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\]
• \[|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\]

3. Координаты вектора \[\overrightarrow{MK} = 2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{AC}\]

• \[2\overrightarrow{AB} = 2(4, -3) = (8, -6)\]
• \[3\overrightarrow{AC} = 3(2, -1) = (6, -3)\]
• \[\overrightarrow{MK} = (8 - 6, -6 - (-3)) = (2, -3)\]

4. Скалярное произведение векторов \[\.overrightarrow{AB}\] и \[\.overrightarrow{AC}\]

• \[\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (4 \times 2) + (-3 \times -1) = 8 + 3 = 11\]

5. Косинус угла между векторами \[\.overrightarrow{AB}\] и \[\.overrightarrow{AC}\]

• \[\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}|} = \frac{11}{5\sqrt{5}} = \frac{11\sqrt{5}}{25}\]

2. Даны векторы \[\overrightarrow{m}(4;14)\] и \[\.overrightarrow{n}(-7;k)\]

1) Коллинеарны

Для коллинеарных векторов выполняется условие пропорциональности координат: \[\frac{4}{-7} = \frac{14}{k}\] \[4k = -7 \times 14\] \[4k = -98\] \[k = -\frac{98}{4} = -\frac{49}{2} = -24.5\]

2) Перпендикулярны

Для перпендикулярных векторов скалярное произведение равно 0: \[\overrightarrow{m} \cdot \overrightarrow{n} = 4 \times (-7) + 14 \times k = 0\] \[-28 + 14k = 0\] \[14k = 28\] \[k = \frac{28}{14} = 2\]

Отлично! Ты хорошо поработал. Если возникнут еще вопросы, не стесняйся спрашивать!