Вариант 1 1. Даны векторы а {1; −2; 0}, b{3; -6; 0}, c{0; -3; 4}. Найдите координаты вектора р = 2a b/3 - c. 2. Найдите угол между прямыми АВ и CD, если А(6; –4; 8), B(8; −2; 4), C(12; -6; 4), D(14; -6; 2). 3. Дан куб АBCDABCD₁. Найдите угол ф между векторами AD₁ и ВМ, где М – середина ребра DD1. 4. Даны векторы а, вис, причем: а = 61-8k, |8| = 1, c{4;1;m}, (āē)=60°. Найти: а) ā-ē; б) значение т, при котором ālē. C 5. Даны векторы 6{3;1;-2} и с{1;4;-3}. Найдите (26-2.

Задание 1

Даны векторы \[\vec{a} = \{1; -2; 0\}, \vec{b} = \{3; -6; 0\}, \vec{c} = \{0; -3; 4\}.\] Нужно найти координаты вектора \[\vec{p} = 2\vec{a} - \frac{\vec{b}}{3} - \vec{c}.\]

• Найдем координаты вектора \(2\vec{a}\): \[2\vec{a} = 2 \cdot \{1; -2; 0\} = \{2; -4; 0\}.\]
• Найдем координаты вектора \(\frac{\vec{b}}{3}\): \[\frac{\vec{b}}{3} = \frac{\{3; -6; 0\}}{3} = \{1; -2; 0\}.\]
• Теперь найдем координаты вектора \(\vec{p}\): \[\vec{p} = \{2; -4; 0\} - \{1; -2; 0\} - \{0; -3; 4\} = \{2-1-0; -4-(-2)-(-3); 0-0-4\} = \{1; 1; -4\}.\]

Ответ: \[\vec{p} = \{1; 1; -4\}\]

Задание 2

Даны точки \(A(6; -4; 8), B(8; -2; 4), C(12; -6; 4), D(14; -6; 2)\). Нужно найти угол между прямыми \(AB\) и \(CD\).

• Найдем направляющий вектор прямой \(AB\): \[\vec{AB} = \{8-6; -2-(-4); 4-8\} = \{2; 2; -4\}.\]
• Найдем направляющий вектор прямой \(CD\): \[\vec{CD} = \{14-12; -6-(-6); 2-4\} = \{2; 0; -2\}.\]
• Найдем косинус угла между прямыми \(AB\) и \(CD\): \[\cos(\varphi) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| |\vec{CD}|} = \frac{2 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + (-4) \cdot (-2)}{\sqrt{2^2 + 2^2 + (-4)^2} \cdot \sqrt{2^2 + 0^2 + (-2)^2}} = \frac{4 + 0 + 8}{\sqrt{4+4+16} \cdot \sqrt{4+0+4}} = \frac{12}{\sqrt{24} \cdot \sqrt{8}} = \frac{12}{\sqrt{192}} = \frac{12}{8\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.\]
• Найдем угол \(\varphi\): \[\varphi = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ.\]

Ответ: \(\varphi = 30^\circ\)

Задание 3

Дан куб \(ABCDA_1B_1C_1D_1\). Нужно найти угол \(\varphi\) между векторами \(AD_1\) и \(BM\), где \(M\) - середина ребра \(DD_1\).

К сожалению, для решения этой задачи необходимо больше информации о расположении куба в пространстве или дополнительных данных. Без них невозможно точно определить угол между векторами \(AD_1\) и \(BM\).

Ответ: Недостаточно данных для решения.

Задание 4

Даны векторы \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\), причем \(\vec{a} = 6\vec{i} - 8\vec{k}, |\vec{b}| = 1, \vec{c} = \{4; 1; m\}, (\vec{a} \widehat{,} \vec{b}) = 60^\circ\).

Нужно найти:

1. \[\vec{a} \cdot \vec{b}.\]
2. Значение \(m\), при котором \(\vec{a} \perp \vec{c}\).

а) Найдем \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)

Зная угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), а также модуль вектора \(\vec{b}\), можем найти скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\). Вектор \(\vec{a} = \{6; 0; -8\}\).

• \[|\vec{a}| = \sqrt{6^2 + 0^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10.\]
• \[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) = 10 \cdot 1 \cdot \cos(60^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5.\]

Ответ: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 5\)

б) Найдем \(m\), при котором \(\vec{a} \perp \vec{c}\)

Если \(\vec{a} \perp \vec{c}\), то их скалярное произведение равно нулю: \(\vec{a} \cdot \vec{c} = 0\).

• \[\vec{a} \cdot \vec{c} = 6 \cdot 4 + 0 \cdot 1 + (-8) \cdot m = 24 - 8m = 0.\]
• \[8m = 24 \Rightarrow m = \frac{24}{8} = 3.\]

Ответ: \(m = 3\)

Задание 5

Даны векторы \(\vec{b} = \{3; 1; -2\}\) и \(\vec{c} = \{1; 4; -3\}\). Нужно найти \(|2\vec{b} - \vec{c}|\).

• Найдем вектор \(2\vec{b}\): \[2\vec{b} = 2 \cdot \{3; 1; -2\} = \{6; 2; -4\}.\]
• Найдем вектор \(2\vec{b} - \vec{c}\): \[2\vec{b} - \vec{c} = \{6; 2; -4\} - \{1; 4; -3\} = \{6-1; 2-4; -4-(-3)\} = \{5; -2; -1\}.\]
• Найдем модуль вектора \(2\vec{b} - \vec{c}\): \[|2\vec{b} - \vec{c}| = \sqrt{5^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 4 + 1} = \sqrt{30}.\]

Ответ: \(|2\vec{b} - \vec{c}| = \sqrt{30}\)

Математический Гений

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке