Вариант 4 1. ДАВС – прямоугольный, АВ – гипотенуза. АС =15, BC = 8. a)cos A; 6) sin A; в) tg B; г) площадь треугольника АВС. 2. ABCD – квадрат, диагональ АС = 8. Найдите площадь квадрата ABCD. 3. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Найдите площадь и периметр ромба. 4. Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной, равной 6. 5. ABCD – трапеция с основанием AD, ∠A = ∠D = 30°, меньшее основание высота трапеции равна 2√3. Найдите: а) АВ; б) AD; в) площадь трапеции.

Ответ: 1. a) cos A = 15/17; б) sin A = 8/17; в) tg B = 15/8; г) S = 60; 2. S = 32; 3. S = 96, P = 40; 4. S = 9√3; 5. a) AB = 4√3; б) AD = 14; в) S = 20√3

1. ДАВС – прямоугольный, АВ – гипотенуза. АС =15, BC = 8. Найдите: a)cos A; б) sin A; в) tg B; г) площадь треугольника АВС.

a) cos A = \(\frac{AC}{AB}\). Найдем AB по теореме Пифагора: AB = \(\sqrt{AC^2 + BC^2}\) = \(\sqrt{15^2 + 8^2}\) = \(\sqrt{225 + 64}\) = \(\sqrt{289}\) = 17. Следовательно, cos A = \(\frac{15}{17}\).

б) sin A = \(\frac{BC}{AB}\) = \(\frac{8}{17}\).

в) tg B = \(\frac{AC}{BC}\) = \(\frac{15}{8}\).

г) Площадь треугольника ABC = \(\frac{1}{2}\) * AC * BC = \(\frac{1}{2}\) * 15 * 8 = 60.

2. ABCD – квадрат, диагональ АС = 8. Найдите площадь квадрата ABCD.

Площадь квадрата ABCD = \(\frac{1}{2}\) * d^2, где d - диагональ. Следовательно, S = \(\frac{1}{2}\) * 8^2 = 32.

3. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Найдите площадь и периметр ромба.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: S = \(\frac{1}{2}\) * 12 * 16 = 96.

Найдем сторону ромба. Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам и образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: a = \(\sqrt{(12/2)^2 + (16/2)^2}\) = \(\sqrt{6^2 + 8^2}\) = \(\sqrt{36 + 64}\) = \(\sqrt{100}\) = 10.

Периметр ромба: P = 4 * a = 4 * 10 = 40.

4. Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной, равной 6.

Площадь равностороннего треугольника: S = \(\frac{a^2 * \sqrt{3}}{4}\) = \(\frac{6^2 * \sqrt{3}}{4}\) = \(\frac{36 * \sqrt{3}}{4}\) = 9\(\sqrt{3}\).

5. ABCD – трапеция с основанием AD, ∠A = ∠D = 30°, меньшее основание BC = 6, высота трапеции равна 2√3. Найдите: а) АВ; б) AD; в) площадь трапеции.

a) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой и боковой стороной AB. sin A = \(\frac{h}{AB}\), следовательно, AB = \(\frac{h}{sin A}\) = \(\frac{2\sqrt{3}}{sin 30°}\) = \(\frac{2\sqrt{3}}{1/2}\) = 4\(\sqrt{3}\).

б) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой и отрезком на основании AD. tg A = \(\frac{h}{x}\), где x - отрезок на основании AD. x = \(\frac{h}{tg A}\) = \(\frac{2\sqrt{3}}{tg 30°}\) = \(\frac{2\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}}\) = 6. Так как трапеция равнобедренная, то AD = BC + 2x = 6 + 2 * 4 = 14.

в) Площадь трапеции: S = \(\frac{BC + AD}{2}\) * h = \(\frac{6 + 14}{2}\) * 2\(\sqrt{3}\) = 20\(\sqrt{3}\).

Ответ: 1. a) cos A = 15/17; б) sin A = 8/17; в) tg B = 15/8; г) S = 60; 2. S = 32; 3. S = 96, P = 40; 4. S = 9√3; 5. a) AB = 4√3; б) AD = 14; в) S = 20√3