Вариант 1 1. Диагональ куба равна 6/3 см. Найдите ребро куба. 2. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 10 см, а его измерения - 6 см и 5 см. Найдите третье измерение параллелепипеда. 3. В правильной треугольной пирамиде DABC сторона основания АВ равна 6/3, а боковое ребро DA равно 5. Найдите величину двугранного угла при ребре основания ВС. 4. Плоскости двух равных прямоугольных трапеций ABCD и ABMN взаимно перпендикулярны. Найдите расстояние CN, если АВ 1 BC, AB 1 BM, BC = ВМ = 3 см, АВ = 4 см. (Точки С и № лежат по одну сторону от плоскости ABD).

Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии. У тебя все получится!

1. Куб

Условие: Диагональ куба равна \(6\sqrt{3}\) см. Нужно найти ребро куба.

Решение:

Пусть ребро куба равно \(a\). Диагональ куба связана с его ребром формулой:

\[d = a\sqrt{3}\]

где \(d\) - диагональ куба.

Нам известно, что \(d = 6\sqrt{3}\), поэтому:

\[6\sqrt{3} = a\sqrt{3}\]

Разделим обе части уравнения на \(\sqrt{3}\):

\[a = 6\]

Ответ: Ребро куба равно 6 см.

2. Прямоугольный параллелепипед

Условие: Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 10 см, а его измерения - 6 см и 5 см. Нужно найти третье измерение параллелепипеда.

Решение:

Пусть измерения параллелепипеда будут \(a = 6\), \(b = 5\), и \(c\) - третье измерение. Диагональ \(d\) прямоугольного параллелепипеда связана с его измерениями формулой:

\[d^2 = a^2 + b^2 + c^2\]

Нам известно, что \(d = 10\), поэтому:

\[10^2 = 6^2 + 5^2 + c^2\] \[100 = 36 + 25 + c^2\] \[100 = 61 + c^2\] \[c^2 = 100 - 61\] \[c^2 = 39\] \[c = \sqrt{39}\]

Ответ: Третье измерение параллелепипеда равно \(\sqrt{39}\) см.

3. Правильная треугольная пирамида

Условие: В правильной треугольной пирамиде DABC сторона основания AB равна \(6\sqrt{3}\), а боковое ребро DA равно 5. Нужно найти величину двугранного угла при ребре основания BC.

Решение:

В правильной треугольной пирамиде основание - равносторонний треугольник. Пусть сторона основания равна \(a = 6\sqrt{3}\). Боковое ребро \(DA = 5\). Опустим высоту \(DO\) на основание. Так как пирамида правильная, основание высоты - центр основания, т.е. центр описанной окружности.

Двугранный угол при ребре основания - это угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания. Проведём высоту \(DM\) в треугольнике \(DBC\) к стороне \(BC\). Тогда угол \(DMA\) - искомый двугранный угол.

Рассмотрим треугольник \(ABC\). Центр описанной окружности - точка пересечения медиан. Медиана в равностороннем треугольнике также является высотой и биссектрисой. Высота \(AM\) равна:

\[AM = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2} = \frac{6 \cdot 3}{2} = 9\]

Тогда \(AO = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6\).

Теперь рассмотрим треугольник \(DOA\). Он прямоугольный, и \(DA = 5\), \(AO = 6\). По теореме Пифагора:

\[DO^2 + AO^2 = DA^2\] \[DO^2 + 6^2 = 5^2\] \[DO^2 + 36 = 25\]

Здесь получается отрицательное значение для \(DO^2\), что невозможно. Вероятно, в условии есть ошибка. Предположим, что боковое ребро равно 10, тогда

\[DO^2 + 6^2 = 10^2\] \[DO^2 + 36 = 100\] \[DO^2 = 64\] \[DO = 8\]

Теперь рассмотрим треугольник \(DOM\). \(OM = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3\).

\[DM = \sqrt{DO^2 + OM^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}\]

Теперь найдем косинус угла \(DMA\):

\[\cos(\angle DMA) = \frac{AM}{DM} = \frac{9}{\sqrt{73}}\] \[\angle DMA = \arccos(\frac{9}{\sqrt{73}})\]

Ответ: Двугранный угол при ребре основания равен \(\arccos(\frac{9}{\sqrt{73}})\).

4. Прямоугольные трапеции

Условие: Плоскости двух равных прямоугольных трапеций ABCD и ABMN взаимно перпендикулярны. Найти расстояние CN, если AB \(\perp\) BC, AB \(\perp\) BM, BC = BM = 3 см, AB = 4 см. (Точки C и N лежат по одну сторону от плоскости ABD).

Решение:

Так как плоскости трапеций перпендикулярны, и \(AB \perp BC\) и \(AB \perp BM\), то \(AB\) перпендикулярна плоскости \(BCM\). Значит, треугольник \(BCN\) прямоугольный, и \(BC = BM = 3\).

Тогда, по теореме Пифагора для треугольника \(BCM\):

\[CN^2 = BC^2 + BN^2\]

Так как \(BC = BM = 3\), то \(CM = BN\).

Рассмотрим треугольник \(ABM\). Он прямоугольный, и \(AB = 4\), \(BM = 3\). По теореме Пифагора:

\[AN^2 = AB^2 + BM^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25\] \[AN = 5\]

Тогда, так как трапеции равны, \(AN = CD = 5\).

Рассмотрим треугольник \(BCN\). \(BC = 3\), \(BN = 5\). По теореме Пифагора:

\[CN^2 = BC^2 + BN^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34\] \[CN = \sqrt{34}\]

Ответ: Расстояние CN равно \(\sqrt{34}\) см.

Ответ: 1. 6 см; 2. \(\sqrt{39}\) см; 3. \(\arccos(\frac{9}{\sqrt{73}})\); 4. \(\sqrt{34}\) см

Молодец! Ты отлично справился с этими задачами. Продолжай в том же духе!