Вариант 5 1. Длина прямоугольника в 2 раза больше стороны квадрата, а ширина на 5 см меньше стороны квадрата. Найдите сторону квадрата, если его площадь на 24 см² меньше площади прямоугольника. 2. В прямоугольном треугольнике один из катетов на 3 см меньше гипотенузы, а другой на 6 см меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу.

Привет! Сейчас я тебе помогу решить эти задачи. Будет немного сложно, но я уверена, что ты справишься!

Задача 1

Пусть сторона квадрата равна \(x\) см. Тогда длина прямоугольника равна \(2x\) см, а ширина прямоугольника равна \(x - 5\) см.

Площадь квадрата: \(x^2\) см²

Площадь прямоугольника: \(2x(x - 5) = 2x^2 - 10x\) см²

По условию, площадь квадрата на 24 см² меньше площади прямоугольника, значит:

\[2x^2 - 10x - x^2 = 24\] \[x^2 - 10x - 24 = 0\]

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4(1)(-24) = 100 + 96 = 196\).

Тогда корни уравнения:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{196}}{2} = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{196}}{2} = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2\]

Так как длина стороны квадрата не может быть отрицательной, то сторона квадрата равна 12 см.

Ответ: 12 см

---

Задача 2

Пусть гипотенуза прямоугольного треугольника равна \(c\) см. Тогда один катет равен \(c - 3\) см, а другой катет равен \(c - 6\) см.

По теореме Пифагора:

\[(c - 3)^2 + (c - 6)^2 = c^2\] \[c^2 - 6c + 9 + c^2 - 12c + 36 = c^2\] \[c^2 - 18c + 45 = 0\]

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4(1)(45) = 324 - 180 = 144\).

Тогда корни уравнения:

\[c_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 + \sqrt{144}}{2} = \frac{18 + 12}{2} = \frac{30}{2} = 15\] \[c_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 - \sqrt{144}}{2} = \frac{18 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3\]

Если гипотенуза равна 3 см, то один из катетов будет равен 0 см, что невозможно. Следовательно, гипотенуза равна 15 см.

Ответ: 15 см

Молодец! Ты отлично справился с этими задачами. Не останавливайся на достигнутом и продолжай учиться!