Вариант 2 1. Докажите равенство треугольников ABD и CBD (рис. 44), если АВ = ВС и ∠ABD=∠CBD. 2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 30 см, а боковая сторона на 6 см меньше основания. 3. На основании АС равнобедренного треугольника АВС отметили точки Ми К так, что LABM =∠CBK, точка М лежит между точками А и К. Докажите, что АМ = СК. 4. Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если его периметр равен 30 см, а основание равно 13 см 5. Найти стороны треугольника, периметр которого 63 см, если одна из них в 3 раза меньше другой и на 13 см больше третьей.

1. Для доказательства равенства треугольников ABD и CBD (рис. 44) при условии АВ = ВС и ∠ABD=∠CBD, необходимо воспользоваться одним из признаков равенства треугольников. В данном случае, мы можем применить первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Рассмотрим треугольники ABD и CBD:

1. AB = BC (по условию).
2. ∠ABD = ∠CBD (по условию).
3. BD - общая сторона.

Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

2. Пусть основание равнобедренного треугольника равно x см. Тогда боковая сторона равна (x - 6) см. Периметр треугольника равен сумме всех его сторон, то есть:

$$P = x + (x - 6) + (x - 6)$$

По условию, периметр равен 30 см, следовательно:

$$30 = x + (x - 6) + (x - 6)$$ $$30 = 3x - 12$$ $$3x = 42$$ $$x = 14$$

Таким образом, основание равно 14 см, а боковая сторона равна:

$$14 - 6 = 8$$

Значит, стороны треугольника равны 14 см, 8 см и 8 см.

3. Дано: ∆ABC - равнобедренный, точки M и K на основании AC, ∠ABM = ∠CBK, точка M лежит между A и K.

Требуется доказать: AM = CK.

Доказательство:

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = BC и ∠BAC = ∠BCA. Рассмотрим углы ∠BAM и ∠BCK. ∠BAM = ∠BAC - ∠MAC и ∠BCK = ∠BCA - ∠KCB. Так как ∠ABM = ∠CBK, то ∠MAC = ∠KCB.

Рассмотрим треугольники ABM и CBK:

1. AB = BC (так как треугольник ABC равнобедренный).
2. ∠ABM = ∠CBK (по условию).
3. ∠BAM = ∠BCK (доказано выше).

Тогда треугольники ABM и CBK равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует, что AM = CK (как соответствующие стороны равных треугольников).

4. Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна x см. Тогда, так как основание равно 13 см, периметр треугольника равен сумме всех его сторон, то есть:

$$P = x + x + 13$$

По условию, периметр равен 30 см, следовательно:

$$30 = x + x + 13$$ $$30 = 2x + 13$$ $$2x = 17$$ $$x = 8.5$$

Таким образом, боковая сторона равна 8.5 см.

5. Пусть одна сторона треугольника равна x см, тогда другая сторона равна 3x см (так как она в 3 раза больше), а третья сторона равна (x - 13) см (так как первая сторона на 13 см больше третьей). Периметр треугольника равен сумме всех его сторон, то есть:

$$P = x + 3x + (x - 13)$$

По условию, периметр равен 63 см, следовательно:

$$63 = x + 3x + (x - 13)$$ $$63 = 5x - 13$$ $$5x = 76$$ $$x = 15.2$$

Тогда вторая сторона равна:

$$3 \times 15.2 = 45.6$$

А третья сторона равна:

$$15.2 - 13 = 2.2$$

Значит, стороны треугольника равны 15.2 см, 45.6 см и 2.2 см.

Ответ: 1) доказано, 2) 14 см, 8 см и 8 см, 3) доказано, 4) 8.5 см, 5) 15.2 см, 45.6 см и 2.2 см.