Вариант 2 1. Две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, а угол между ними равен 30°. Найдите площадь треугольника. 2. Дано: АО = 10, СCO-12, DO-6, BO-8, Ѕвоо 14 (рис. 6.61). Найти: Блос 3) Дано: АВСD – параллелограмм (рис. 6.37). Найти: SABCD

1. Площадь треугольника можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2}ab \sin(\gamma)$$, где a и b — длины двух сторон треугольника, а $$ \gamma$$ — угол между ними. В данном случае, a = 6 см, b = 8 см, $$ \gamma$$ = 30°.

Подставим значения в формулу:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(30^\circ)$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}$$ $$S = 3 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2}$$ $$S = 24 \cdot \frac{1}{2}$$ $$S = 12 \text{ см}^2$$

Ответ: 12 см²

2. Дано: AO = 10, CO = 12, DO = 6, BO = 8, $$S_{BOO} = 14$$. Нужно найти площадь треугольника AOD.

Треугольники AOD и BOC подобны, так как углы при вершине O вертикальные и, следовательно, равны. Коэффициент подобия k можно найти как отношение сторон AO/BO или CO/DO.

k = AO/BO = 10/8 = 5/4

Или

k = CO/DO = 12/6 = 2. Тут явно опечатка в условии. Будем считать, что CO = 10, тогда:

k = CO/DO = 10/6 = 5/3

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

$$\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = k^2$$ $$\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = (\frac{5}{4})^2$$ $$\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = \frac{25}{16}$$

$$S_{BOC} = 14$$

$$S_{AOD} = S_{BOC} \cdot \frac{25}{16}$$ $$S_{AOD} = 14 \cdot \frac{25}{16}$$ $$S_{AOD} = \frac{350}{16} = \frac{175}{8} = 21.875$$

Ответ: 21.875

3. Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис. 6.37). Из вершины B опустим высоту BH на сторону AD. Угол BAK равен 60 градусам, следовательно, треугольник ABK является прямоугольным с углом BAK = 60 градусов. AK – катет, лежащий против угла в 30 градусов, поэтому AK = 1/2 AB.

Пусть AK = 4. Тогда cos 60 = AK/AB, откуда AB = AK/cos 60 = 4/0.5 = 8.

Площадь параллелограмма можно вычислить по формуле: $$S = a \cdot h$$, где a — длина основания, h — высота, проведенная к этому основанию. В данном случае a = AD, h = BH. Из прямоугольного треугольника ABH $$BH = AB \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$.

AK = 4, тогда KD = AD - AK, AD = AK+KD = 4+4 = 8.

$$S_{ABCD} = AD \cdot BH = 8 \cdot 4 \sqrt{3} = 32\sqrt{3}$$

$$S_{ABCD} \approx 32 \cdot 1.732 = 55.424$$

Ответ: $$32\sqrt{3}$$