Вариант 1. 1) Формула импульса 2) Формулировка закона сохранения импульса 3)Закон сохранения импульса для упругого удара 4) Вагон массой 10 т движется со скоростью 0,5 м/с. Он нагоняет вагон, масса которого 20 т, который движется со скоростью 0,2 м/с. Какова скорость вагонов после того, как сработает сцепка. 5) Два шара массами 100г и 200 г соударяются и после удара разлетаются в разные стороны. Найдите скорость второго шара после удара, если скорость первого шара до удара 20 м/с, а скорость второго 10 м/с.

1) Формула импульса: $$p = mv$$, где: * p - импульс тела, * m - масса тела, * v - скорость тела. 2) Формулировка закона сохранения импульса: В замкнутой системе суммарный импульс всех тел остается постоянным, если на систему не действуют внешние силы. Математически это выражается как: $$\sum_{i=1}^{n} m_i \vec{v_i} = const$$ 3) Закон сохранения импульса для упругого удара: При упругом ударе сохраняется не только импульс, но и кинетическая энергия системы. Для двух тел это можно записать как: * Сохранение импульса: $$m_1v_{1i} + m_2v_{2i} = m_1v_{1f} + m_2v_{2f}$$ * Сохранение кинетической энергии: $$\frac{1}{2}m_1v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2i}^2 = \frac{1}{2}m_1v_{1f}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2f}^2$$ где: * ( m_1, m_2 ) - массы первого и второго тел, * ( v_{1i}, v_{2i} ) - начальные скорости первого и второго тел, * ( v_{1f}, v_{2f} ) - конечные скорости первого и второго тел. 4) Для решения этой задачи используем закон сохранения импульса для неупругого удара (так как вагоны сцепляются): $$m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1 + m_2)v_{final}$$ * ( m_1 = 10 \text{ т} = 10000 \text{ кг} ), ( v_1 = 0.5 \text{ м/с} ) * ( m_2 = 20 \text{ т} = 20000 \text{ кг} ), ( v_2 = 0.2 \text{ м/с} ) Подставляем значения и находим ( v_{final} ): $$10000 \cdot 0.5 + 20000 \cdot 0.2 = (10000 + 20000)v_{final}$$ $$5000 + 4000 = 30000v_{final}$$ $$9000 = 30000v_{final}$$ $$v_{final} = \frac{9000}{30000} = 0.3 \text{ м/с}$$ Скорость вагонов после сцепки: 0.3 м/с. 5) Для решения этой задачи используем закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии (для упругого удара). Однако, нам не хватает информации о направлении движения шаров после удара, чтобы точно определить скорости. Но мы можем найти скорость второго шара после удара, если предположим, что удар является абсолютно упругим и шары движутся вдоль одной прямой. Запишем законы сохранения: * Сохранение импульса: $$m_1v_{1i} + m_2v_{2i} = m_1v_{1f} + m_2v_{2f}$$ * Сохранение кинетической энергии: $$\frac{1}{2}m_1v_{1i}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2i}^2 = \frac{1}{2}m_1v_{1f}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2f}^2$$ Где: * ( m_1 = 0.1 \text{ кг} ), ( v_{1i} = 20 \text{ м/с} ) * ( m_2 = 0.2 \text{ кг} ), ( v_{2i} = 10 \text{ м/с} ) Подставим значения: $$0.1 \cdot 20 + 0.2 \cdot 10 = 0.1v_{1f} + 0.2v_{2f}$$ $$2 + 2 = 0.1v_{1f} + 0.2v_{2f}$$ $$4 = 0.1v_{1f} + 0.2v_{2f}$$ $$20 + 0.2 \cdot 10^2 = 0.1v_{1f}^2 + 0.2v_{2f}^2$$ $$20 + 20 = 0.1v_{1f}^2 + 0.2v_{2f}^2$$ $$40 = 0.1v_{1f}^2 + 0.2v_{2f}^2$$ Из первого уравнения выразим ( v_{1f} ): $$v_{1f} = \frac{4 - 0.2v_{2f}}{0.1} = 40 - 2v_{2f}$$ Подставим во второе уравнение: $$40 = 0.1(40 - 2v_{2f})^2 + 0.2v_{2f}^2$$ $$40 = 0.1(1600 - 160v_{2f} + 4v_{2f}^2) + 0.2v_{2f}^2$$ $$40 = 160 - 16v_{2f} + 0.4v_{2f}^2 + 0.2v_{2f}^2$$ $$0 = 120 - 16v_{2f} + 0.6v_{2f}^2$$ $$0.6v_{2f}^2 - 16v_{2f} + 120 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-16)^2 - 4 \cdot 0.6 \cdot 120 = 256 - 288 = -32$$ Так как дискриминант отрицательный, то в рамках вещественных чисел решения нет. Это указывает на то, что либо условие задачи некорректно (невозможно сохранить одновременно и импульс, и кинетическую энергию при заданных начальных скоростях), либо удар не является абсолютно упругим. Однако, если бы дискриминант был положительным, мы бы нашли два значения для ( v_{2f} ), и выбрали бы наиболее физически обоснованное. Без дополнительной информации (например, коэффициента восстановления) точное решение невозможно. Предположим, что шары слиплись после удара. Тогда: $$m_1v_{1i} + m_2v_{2i} = (m_1 + m_2)v_f$$ $$0.1 \cdot 20 + 0.2 \cdot 10 = (0.1 + 0.2)v_f$$ $$2 + 2 = 0.3v_f$$ $$4 = 0.3v_f$$ $$v_f = \frac{4}{0.3} = \frac{40}{3} \approx 13.33 \text{ м/с}$$ Тогда скорость второго шара после удара будет примерно 13.33 м/с.