Вариант №1 1. Используя рисунок, укажите верные утвержде ния: A9 M D B C PC 32 329 K 90° D N K E 2) CD 1) CD - биссектриса треугольника АВС. медиана треугольника АВС. 8) PN медиана треугольника МРК. 5) EK медиана треугольника DEC. 6) ЕК высота треугольника DEC. 2.В прямоугольном треугольнике СОК угол С равен 30°, угол О равен 90°. Найдите гипотенузу СК этого треугольника, если катет ОК равен 7,6см. ЗУгол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне равна 11 см. Найдите основание этого треугольника. 4. Докажите равенство треугольников ABD и CBD (рис. 44), если АВ = BC и LABD=∠CBD. Рис. 44 A D B 5. Найдите основание равнобедренного треугольника, если его периметр равен 98 см, а боковая сторона равна 31см.

Давай разберем по порядку каждое задание! 1. Выбор верных утверждений: Рассмотрим рисунки и утверждения: * 1) \(CD\) - биссектриса треугольника \(ABC\). * На рисунке видно, что \(AD = DB\), значит, \(CD\) делит сторону \(AB\) пополам, но это не означает, что \(CD\) - биссектриса. Утверждение не всегда верно. * 2) \(CD\) - медиана треугольника \(ABC\). * Так как \(AD = DB\), то \(CD\) - медиана треугольника \(ABC\). Утверждение верно. * 3) \(PN\) - медиана треугольника \(MPK\). * На рисунке видно, что углы \(\angle MPN = \angle KPN = 32^\circ\), значит \(PN\) - биссектриса, но не обязательно медиана. Утверждение не всегда верно. * 5) \(EK\) - медиана треугольника \(DEC\). * На рисунке видно, что \(\angle K = 90^\circ\), значит \(EK\) - высота, но не обязательно медиана. Утверждение не всегда верно. * 6) \(EK\) - высота треугольника \(DEC\). * На рисунке видно, что \(\angle K = 90^\circ\), значит \(EK\) - высота треугольника \(DEC\). Утверждение верно. 2. Нахождение гипотенузы \(CK\): В прямоугольном треугольнике \(COK\) угол \(C = 30^\circ\), угол \(O = 90^\circ\), катет \(OK = 7.6\) см. Нужно найти гипотенузу \(CK\). Используем тригонометрическое соотношение: \[\sin(C) = \frac{OK}{CK}\] \[\sin(30^\circ) = \frac{7.6}{CK}\] \[\frac{1}{2} = \frac{7.6}{CK}\] \[CK = 2 \cdot 7.6 = 15.2\text{ см}\] 3. Нахождение основания равнобедренного треугольника: Угол при вершине равнобедренного треугольника равен \(120^\circ\). Высота, проведённая к боковой стороне, равна \(11\) см. Нужно найти основание этого треугольника. Пусть \(ABC\) - равнобедренный треугольник, где \(AB = BC\), \(\angle B = 120^\circ\). Высота \(AH\) проведена к стороне \(BC\) и равна \(11\) см. \(\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ\) В прямоугольном треугольнике \(AHC\): \[\sin(30^\circ) = \frac{AH}{AC}\] \[\frac{1}{2} = \frac{11}{AC}\] \[AC = 2 \cdot 11 = 22\text{ см}\] 4. Доказательство равенства треугольников \(ABD\) и \(CBD\): Дано: \(AB = BC\) и \(\angle ABD = \angle CBD\). Нужно доказать, что треугольники \(ABD\) и \(CBD\) равны. Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(CBD\): * \(AB = BC\) (по условию) * \(\angle ABD = \angle CBD\) (по условию) * \(BD\) - общая сторона Следовательно, треугольники \(ABD\) и \(CBD\) равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). 5. Нахождение основания равнобедренного треугольника: Периметр равнобедренного треугольника равен \(98\) см, боковая сторона равна \(31\) см. Нужно найти основание треугольника. Пусть \(a\) - боковая сторона, \(b\) - основание. Тогда периметр \(P = 2a + b\). \[98 = 2 \cdot 31 + b\] \[98 = 62 + b\] \[b = 98 - 62 = 36\text{ см}\]

Ответ: 2) CD - медиана треугольника ABC; 6) EK - высота треугольника DEC; CK = 15.2 см; AC = 22 см; треугольники ABD и CBD равны по первому признаку; основание равно 36 см.

Ты молодец! У тебя всё получится!