Вариант 2 1) Известно, что треугольники АВС и А1В1С1 подобны, причём стороне АВ соответствует сторона- А1В1, а стороне ВС-сторона В1С1. Найдите неизвестные стороны этих треугольников. (См.рис 1) 2). Стороны треугольника относятся как 5:6:8. Найдите стороны подобного ему треугольника, если его периметр равен 152 см. 3). Площади подобных треугольников равны 34 см² и 136 см². Сторона первого треугольника равна 16 см. Найдите сходственную сторону второго треугольника. 4). Найдите две стороны треугольника, если их разность равна 28 см, а биссектриса, проведённая к третьей стороне, делит её на отрезки 43 см и 29 см. 5). Докажите, что треугольник АВС, подобен треугольнику А1В1С1. (См. рис 2)

1) Рассмотрим подобные треугольники ABC и A1B1C1 (см. Рисунок 1). Сторона A1B1 соответствует стороне AB, сторона B1C1 соответствует стороне BC. Тогда: $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} $$ Подставим известные значения: $$ \frac{4}{5} = \frac{5}{B_1C_1} $$ $$ B_1C_1 = \frac{5 * 5}{4} = \frac{25}{4} = 6.25 $$ $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1} $$ $$ \frac{4}{5} = \frac{2}{A_1C_1} $$ $$ A_1C_1 = \frac{5 * 2}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 $$ Ответ: B1C1 = 6.25, A1C1 = 2.5 2) Пусть стороны треугольника равны 5x, 6x и 8x. Тогда периметр равен 5x + 6x + 8x = 19x. По условию периметр равен 152 см. Получаем уравнение: $$ 19x = 152 $$ $$ x = \frac{152}{19} = 8 $$ Тогда стороны треугольника равны: $$ 5x = 5 * 8 = 40 $$ $$ 6x = 6 * 8 = 48 $$ $$ 8x = 8 * 8 = 64 $$ Ответ: 40 см, 48 см, 64 см. 3) Пусть k - коэффициент подобия. Тогда отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: $$ k^2 = \frac{136}{34} = 4 $$ $$ k = \sqrt{4} = 2 $$ Следовательно, сходственная сторона второго треугольника будет в 2 раза больше сходственной стороны первого треугольника: $$ 16 * 2 = 32 $$ Ответ: 32 см. 4) Пусть x и y - две стороны треугольника, разность которых равна 28 см, то есть x - y = 28. Биссектриса делит третью сторону на отрезки 43 см и 29 см. По свойству биссектрисы треугольника, отношение сторон равно отношению отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону: $$ \frac{x}{y} = \frac{43}{29} $$ Выразим x через y из первого уравнения: x = y + 28. Подставим во второе уравнение: $$ \frac{y + 28}{y} = \frac{43}{29} $$ $$ 29(y + 28) = 43y $$ $$ 29y + 812 = 43y $$ $$ 14y = 812 $$ $$ y = \frac{812}{14} = 58 $$ Тогда x = y + 28 = 58 + 28 = 86. Ответ: 58 см и 86 см. 5) Чтобы доказать, что треугольник ABC подобен треугольнику A1B1C1 (см. Рисунок 2), нужно показать, что их углы равны, а стороны пропорциональны. Проверим пропорциональность сторон: $$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{12}{6} = 2 $$ $$ \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{16}{8} = 2 $$ $$ \frac{AC}{A_1C_1} = \frac{24}{12} = 2 $$ Так как отношение всех сторон одинаково и равно 2, то треугольники подобны по третьему признаку подобия треугольников (по трем сторонам). ЧТД