Вариант 1 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 24 см и 10 см. Найди гипотенузу данного треугольника. 2. Сторона прямоугольника равна 8, а диагональ – 10. Найдите другую сторону прямоугольника. 3. Найдите высоту равностороннего треугольника, если его сторона равна 8 см. 4. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее основания равны 5 см и 17 см, а боковая сторона равна 10 см. 5. В трапеции АBCD (AD – большее основание) проведены высоты ВМ и СК. Найдите все стороны трапеции, если известно, что ВМ=8 см, МК=7 см, АК=12 см, КD=6 см.

1. Гипотенуза прямоугольного треугольника

Давай вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. То есть, если катеты a и b, а гипотенуза c, то \[c^2 = a^2 + b^2\]

В нашем случае, катеты равны 24 см и 10 см. Подставим значения в формулу:

\[c^2 = 24^2 + 10^2 = 576 + 100 = 676\]

Теперь найдем гипотенузу, извлекая квадратный корень из обеих сторон:

\[c = \sqrt{676} = 26\]

Ответ: Гипотенуза треугольника равна 26 см.

2. Сторона прямоугольника

В прямоугольнике диагональ делит его на два прямоугольных треугольника. Одна сторона прямоугольника известна (8 см), диагональ тоже (10 см). Нужно найти другую сторону. Опять же, используем теорему Пифагора:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

Здесь диагональ (c) равна 10 см, а одна из сторон (a) равна 8 см. Тогда:

\[8^2 + b^2 = 10^2\]

\[64 + b^2 = 100\]

\[b^2 = 100 - 64 = 36\]

\[b = \sqrt{36} = 6\]

Ответ: Другая сторона прямоугольника равна 6 см.

3. Высота равностороннего треугольника

В равностороннем треугольнике все стороны равны. Высота, проведенная к основанию, также является медианой и биссектрисой. Она делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника.

Если сторона равностороннего треугольника равна 8 см, то половина основания будет 4 см. Используем теорему Пифагора для одного из прямоугольных треугольников:

\[h^2 + 4^2 = 8^2\]

\[h^2 + 16 = 64\]

\[h^2 = 64 - 16 = 48\]

\[h = \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}\]

Ответ: Высота равностороннего треугольника равна 4√3 см.

4. Площадь равнобедренной трапеции

Площадь трапеции можно найти по формуле: \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\], где a и b – основания, h – высота.

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны. У нас основания 5 см и 17 см, а боковая сторона 10 см. Чтобы найти высоту, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и частью большего основания.

Разница между основаниями: 17 - 5 = 12 см. Значит, на каждый прямоугольный треугольник приходится по 12 / 2 = 6 см.

Теперь найдем высоту по теореме Пифагора:

\[h^2 + 6^2 = 10^2\]

\[h^2 + 36 = 100\]

\[h^2 = 100 - 36 = 64\]

\[h = \sqrt{64} = 8\]

Высота равна 8 см. Теперь найдем площадь трапеции:

\[S = \frac{5 + 17}{2} \cdot 8 = \frac{22}{2} \cdot 8 = 11 \cdot 8 = 88\]

Ответ: Площадь трапеции равна 88 кв. см.

5. Стороны трапеции ABCD

В трапеции ABCD (AD – большее основание) проведены высоты BM и CK. Известно, что BM = 8 см, MK = 7 см, AK = 12 см, KD = 6 см.

Так как BM и CK – высоты, то BM = CK = 8 см. MK = BC = 7 см (потому что BMKC - прямоугольник).

AD = AK + KD + MK = 12 + 6 + 7 = 25 см.

Теперь найдем AB и CD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM. AM = AK - MK = 12 - 7 = 5 см. Используем теорему Пифагора:

\[AB^2 = BM^2 + AM^2 = 8^2 + 5^2 = 64 + 25 = 89\]

\[AB = \sqrt{89}\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник CKD. KD = 6 см, CK = 8 см. Используем теорему Пифагора:

\[CD^2 = CK^2 + KD^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100\]

\[CD = \sqrt{100} = 10\]

Ответ: AB = √89 см, BC = 7 см, CD = 10 см, AD = 25 см.

Ответ: 1) 26 см; 2) 6 см; 3) 4√3 см; 4) 88 кв. см; 5) AB = √89 см, BC = 7 см, CD = 10 см, AD = 25 см.