Вариант 1. 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 см и 12 см. Найдите гипотенузу данного треугольника. Чертеж и оформление обязательны. 2. Определите значение катета прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна 25 дм, а второй катет - 15 дм. Чертеж и оформление обязательны. 3. Вычислите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и BC, если AD = 24 см, ВС = 16 см. ZA = 45°, ZD = 90°. 4. Дан треугольник АВС. На стороне АС отмечена точка С так, что АК = 6 см, КС = 9 см. Найдите площади треугольников АВК и СВК, если АВ = 13 см, ВС = 14 см. 5. Используя основное тригонометрическое тождество и значение 5 cosa ==, найдите sina n tga. 9

Решение:

1. Задача 1: Найти гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см.

   По теореме Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\), где \(a\) и \(b\) – катеты, \(c\) – гипотенуза.

   Вычисляем: \(c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\) см.

   Ответ: 13 см

2. Задача 2: Найти катет прямоугольного треугольника, если гипотенуза равна 25 дм, а второй катет – 15 дм.

   По теореме Пифагора: \(a^2 = c^2 - b^2\), где \(c\) – гипотенуза, \(b\) – известный катет, \(a\) – искомый катет.

   Вычисляем: \(a = \sqrt{25^2 - 15^2} = \sqrt{625 - 225} = \sqrt{400} = 20\) дм.

   Ответ: 20 дм

3. Задача 3: Вычислить площадь трапеции ABCD с основаниями AD = 24 см, BC = 16 см, ∠A = 45°, ∠D = 90°.

   Проведем высоту BH. Рассмотрим треугольник ABH: ∠ABH = 45°, AH = BH (так как ∠A = 45°).

   AH = AD - BC = 24 - 16 = 8 см, следовательно, BH = 8 см.

   Площадь трапеции: \(S = \frac{AD + BC}{2} \cdot BH = \frac{24 + 16}{2} \cdot 8 = 20 \cdot 8 = 160\) см².

   Площадь трапеции: \(S = \frac{(AD + BC) \cdot h}{2}\)

   В данном случае: \(h = AH = 8\sqrt{2}\) см (т.к. \(\angle A = 45^\circ\)).

   Площадь: \(S = \frac{(24 + 16) \cdot 8\sqrt{2}}{2} = \frac{40 \cdot 8\sqrt{2}}{2} = 160\sqrt{2}\) см².

   Ответ: 80√2 см²

4. Задача 4: Дан треугольник ABC. На стороне AC отмечена точка K так, что AK = 6 см, KC = 9 см. Найти площади треугольников ABK и CBK, если AB = 13 см, BC = 14 см.

   Площади треугольников ABK и CBK относятся как длины их оснований AK и KC (т.к. высота у них общая).

   Отношение площадей: \(\frac{S(ABK)}{S(CBK)} = \frac{AK}{KC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\)

   Пусть S(ABK) = 2x, тогда S(CBK) = 3x. Площадь треугольника ABC: S(ABC) = 2x + 3x = 5x.

   S(ABK) = \(\frac{2}{5}\) * S(ABC), S(CBK) = \(\frac{3}{5}\) * S(ABC)

   S(ABK) = \(\frac{AK}{AC} \cdot S_{ABC} = \frac{6}{15} \cdot S_{ABC} = \frac{2}{5} S_{ABC}\)

   S(CBK) = \(\frac{CK}{AC} \cdot S_{ABC} = \frac{9}{15} \cdot S_{ABC} = \frac{3}{5} S_{ABC}\)

   Площадь треугольника ABK = \(\frac{2}{5}\) S(ABC), а площадь треугольника CBK = \(\frac{3}{5}\) S(ABC).

   S(ABK) = \(26\) см², S(CBK) = \(\frac{9}{15}\) * S(ABC)

   Ответ: S(ABK) = 26 см², S(CBK) = (9 * S(ABC)) / 15

5. Задача 5: Используя основное тригонометрическое тождество и значение \(\cos \alpha = \frac{5}{9}\), найти \(\sin \alpha\) и \(\tan \alpha\).

   Основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)

   Вычисляем: \(\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{5}{9})^2 = 1 - \frac{25}{81} = \frac{56}{81}\)

   \(\sin \alpha = \sqrt{\frac{56}{81}} = \frac{\sqrt{56}}{9} = \frac{2\sqrt{14}}{9}\)

   \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{2\sqrt{14}}{9}}{\frac{5}{9}} = \frac{2\sqrt{14}}{5}\)

   Так как \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{56}}{9} = \frac{2\sqrt{14}}{9}\), то \(\tg \alpha = \frac{2\sqrt{14}}{5}\)

   Если \(\cos \alpha = \frac{5}{9}\), то \(\sin \alpha = \sqrt{1 - (\frac{5}{9})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{81}} = \sqrt{\frac{56}{81}} = \frac{4\sqrt{14}}{9}\)

   \(\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{4\sqrt{14}}{9}}{\frac{5}{9}} = \frac{4\sqrt{14}}{5}\)

   Ответ: sinα = (4√14) / 9, tgα = (4√14) / 5

Result Card:

Цифровой атлет: Скилл прокачан до небес! Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс. Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке.