Вариант 2 1. М№ и МК - отрезки касательных, проведенные к окруж- ности радиусом 5 см. Найдите MN и МК, если МО = 13 см. 2. Дано: ОАВ: UAC = 5 : 3 (рис. 8.179). Найти: ДВОС, ∠ABC. 3. Хорды АВ и CD пересекаются в точке так, что AF = 4 см, BF = 16 см, CF = DF. Найдите CD. 4*. Окружность с центром О и радиусом 12 см описана около треугольника MNK так, что ∠MON = 120°, ∠NOK = 90°. Найдите стороны М№ и NK треугольника.

Задание 1

Дано:

• Окружность с радиусом r = 5 см
• MN и MK - касательные к окружности
• MO = 13 см

Найти: MN и MK

Решение:

• Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, треугольник MNO - прямоугольный, где NO - радиус, а MO - гипотенуза.
• По теореме Пифагора: MN² = MO² - NO²
• MN² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144
• MN = √144 = 12 см
• Так как MN и MK - отрезки касательных, проведенных из одной точки, то MN = MK.

Ответ: MN = MK = 12 см

Задание 2

Дано:

• ∠BAC = 60°
• AB : AC = 5 : 3

Найти: ∠BOC, ∠ABC

Решение:

• Пусть AB = 5x, AC = 3x.
• ∠BOC - центральный угол, опирающийся на дугу BC. ∠BAC - вписанный угол, опирающийся на ту же дугу.
• ∠BOC = 2 * ∠BAC = 2 * 60° = 120°
• По теореме синусов: \[\frac{AB}{\sin{\angle C}} = \frac{AC}{\sin{\angle B}}\]
• \[\frac{5x}{\sin{\angle C}} = \frac{3x}{\sin{\angle B}}\]
• \[\frac{\sin{\angle C}}{\sin{\angle B}} = \frac{5}{3}\]
• ∠A + ∠B + ∠C = 180°
• 60° + ∠B + ∠C = 180°
• ∠B + ∠C = 120°
• Пусть ∠B = y, тогда ∠C = 120° - y
• \[\frac{\sin{(120° - y)}}{\sin{y}} = \frac{5}{3}\]
• 3 * sin(120° - y) = 5 * sin(y)
• 3 * (sin(120°) * cos(y) - cos(120°) * sin(y)) = 5 * sin(y)
• 3 * (\(\frac{\sqrt{3}}{2}\) * cos(y) + \(\frac{1}{2}\) * sin(y)) = 5 * sin(y)
• \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\) * cos(y) + \(\frac{3}{2}\) * sin(y) = 5 * sin(y)
• \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\) * cos(y) = \(\frac{7}{2}\) * sin(y)
• tan(y) = \(\frac{3\sqrt{3}}{7}\)
• y = arctan(\( \frac{3\sqrt{3}}{7} \)) ≈ 36.87°
• ∠B ≈ 36.87°
• ∠C ≈ 120° - 36.87° = 83.13°

Ответ: ∠BOC = 120°, ∠ABC ≈ 36.87°

Задание 3

Дано:

• AF = 4 см
• BF = 16 см
• CF = DF

Найти: CD

Решение:

• По свойству пересекающихся хорд: AF * FB = CF * FD
• 4 * 16 = CF²
• CF² = 64
• CF = 8 см
• CD = CF + FD = 8 + 8 = 16 см

Ответ: CD = 16 см

Задание 4

Для решения данной задачи недостаточно информации. Необходимо знать положение точки K относительно сторон MN и NK треугольника MNK, чтобы найти стороны MN и NK.

Без этой информации невозможно однозначно определить длины сторон MN и NK.