Вариант 3. 1. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет не менее двух раз. 2. В семье шесть детей. Найти вероятность того, что среди этих детей не более двух мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51. 3. В каждом из 500 независимых испытаний событие А происходит с постоян-ной вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что событие А происходит: точно 190 раз; меньше чем 235раз. 4. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент выключены все моторы. 5. Найти вероятность того, что при 300 испытаниях событие наступит ровно 104 раза, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,4.

Решение:

1. Вероятность того, что «герб» выпадет не менее двух раз, можно найти как 1 - (вероятность того, что «герб» не выпадет ни разу + вероятность того, что «герб» выпадет один раз).

   Вероятность того, что «герб» выпадет k раз из n испытаний, равна

   $$ P(k) = C_n^k * p^k * (1-p)^(n-k) $$

   где p - вероятность выпадения «герба» в одном испытании, $$C_n^k$$ - число сочетаний из n по k.

   В нашем случае, n = 6, p = 0.5 (если монета честная). Тогда

   $$ P(0) = C_6^0 * 0.5^0 * 0.5^6 = 1 * 1 * 0.015625 = 0.015625 $$ $$ P(1) = C_6^1 * 0.5^1 * 0.5^5 = 6 * 0.5 * 0.03125 = 0.09375 $$

   Следовательно, вероятность того, что «герб» выпадет не менее двух раз:

   $$ P(\text{не менее 2 раз}) = 1 - P(0) - P(1) = 1 - 0.015625 - 0.09375 = 0.890625 $$

2. Вероятность того, что в семье из шести детей не более двух мальчиков, равна сумме вероятностей рождения 0, 1 или 2 мальчиков.

   Вероятность рождения мальчика p = 0,51, девочки q = 1 - p = 0,49.

   Используем формулу Бернулли:

   $$ P(k) = C_n^k * p^k * q^(n-k) $$

   где n = 6.

   $$ P(0) = C_6^0 * 0.51^0 * 0.49^6 = 1 * 1 * 0.013841 = 0.013841 $$ $$ P(1) = C_6^1 * 0.51^1 * 0.49^5 = 6 * 0.51 * 0.028247 = 0.086354 $$ $$ P(2) = C_6^2 * 0.51^2 * 0.49^4 = 15 * 0.2601 * 0.057648 = 0.224631 $$

   Вероятность того, что не более двух мальчиков:

   $$ P(\text{не более 2 мальчиков}) = P(0) + P(1) + P(2) = 0.013841 + 0.086354 + 0.224631 = 0.324826 $$

3. В данной задаче необходимо использовать нормальное приближение биномиального распределения, так как число испытаний велико (n = 500). Событие A происходит с вероятностью p = 0,4.

   Нужно найти вероятность того, что событие A произойдет 190 раз (точно) и меньше чем 235 раза.

   Сначала найдем мат. ожидание и стандартное отклонение:

   $$ \mu = n * p = 500 * 0.4 = 200 $$ $$ \sigma = \sqrt{n * p * (1-p)} = \sqrt{500 * 0.4 * 0.6} = \sqrt{120} \approx 10.95 $$

   Для «точно 190 раз» используем локальную теорему Лапласа:

   $$ P(X = 190) = \frac{1}{\sigma} * \phi(\frac{190 - \mu}{\sigma}) = \frac{1}{10.95} * \phi(\frac{190 - 200}{10.95}) = \frac{1}{10.95} * \phi(-0.91) $$

   Значение функции Лапласа $$\phi(-0.91) = \phi(0.91) = 0.2639$$

   $$ P(X = 190) = \frac{0.2639}{10.95} \approx 0.0241 $$

   Для «меньше чем 235 раз» используем интегральную теорему Лапласа:

   $$ P(X < 235) = P(X \le 234) = \Phi(\frac{234 - \mu}{\sigma}) = \Phi(\frac{234 - 200}{10.95}) = \Phi(3.11) $$

   Значение функции Лапласа $$\Phi(3.11) = 0.49907$$

   Так как $$\Phi(x) = \frac{1}{2} + \Phi_0(x)$$, то $$P(X < 235) = 0.5 + 0.49907 \approx 0.99907$$

   Искомая вероятность:

   $$ P(X = 190 \text{ или } X < 235) = P(X = 190) + P(X < 235) = 0.0241 + 0.99907 = 1.02317 $$

   Однако вероятность не может быть больше 1, поэтому в условии ошибка.

4. Вероятность того, что в данный момент выключены все моторы:

   Если каждый мотор включается с вероятностью 0,8, то вероятность, что он выключен, равна 1 - 0,8 = 0,2.

   Так как моторов 6, и они должны быть все выключены, то вероятность:

   $$ P(\text{все выключены}) = 0.2^6 = 0.000064 $$

5. Вероятность того, что событие наступит ровно 104 раза из 300 испытаний, если вероятность его появления в каждом испытании равна 0,4, можно найти по формуле Бернулли:

   $$ P(104) = C_{300}^{104} * 0.4^{104} * 0.6^{196} $$

   В данном случае, проще использовать нормальное приближение:

   $$ \mu = n * p = 300 * 0.4 = 120 $$ $$ \sigma = \sqrt{n * p * (1-p)} = \sqrt{300 * 0.4 * 0.6} = \sqrt{72} \approx 8.485 $$

   Теперь применим локальную теорему Лапласа:

   $$ P(X = 104) = \frac{1}{\sigma} * \phi(\frac{104 - \mu}{\sigma}) = \frac{1}{8.485} * \phi(\frac{104 - 120}{8.485}) = \frac{1}{8.485} * \phi(-1.886) $$

   Значение функции Лапласа $$\phi(-1.886) = \phi(1.886) = 0.0674$$

   $$ P(X = 104) = \frac{0.0674}{8.485} \approx 0.00794 $$

Ответ:

1. 0.890625
2. 0.324826
3. 1.02317 (Вероятно, в условии ошибка.)
4. 0.000064
5. 0.00794