Вариант 1. 1. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет не менее двух раз. 2. В семье шесть детей. Найти вероятность того, что среди этих детей два маль- чика. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51. 3. В каждом из 500 независимых испытаний событие А происходит с постоян- ной вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что событие А происходит: точно 220 раз; меньше чем 240 и больше чем 180 раз. 4. В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент включены все моторы.

Задача 1

Вероятность того, что «герб» выпадет не менее двух раз, можно найти, вычислив вероятность противоположного события (выпадение 0 или 1 раза) и вычтя ее из 1.

1. Вероятность выпадения «герба» 0 раз (все 8 раз выпала решка):

   $$ P(0) = C_8^0 \cdot (0.5)^0 \cdot (0.5)^8 = 1 \cdot 1 \cdot (0.5)^8 = (0.5)^8 = 0.00390625 $$

2. Вероятность выпадения «герба» 1 раз:

   $$ P(1) = C_8^1 \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^7 = 8 \cdot (0.5)^8 = 8 \cdot 0.00390625 = 0.03125 $$

3. Вероятность выпадения «герба» 0 или 1 раз:

   $$ P(0 \text{ или } 1) = P(0) + P(1) = 0.00390625 + 0.03125 = 0.03515625 $$

4. Вероятность выпадения «герба» не менее двух раз:

   $$ P(\text{не менее 2}) = 1 - P(0 \text{ или } 1) = 1 - 0.03515625 = 0.96484375 $$

Ответ: 0.96484375

Задача 2

Вероятность того, что среди шести детей два мальчика, можно найти, используя формулу Бернулли:

$$ P(k=2) = C_6^2 \cdot (0.51)^2 \cdot (1-0.51)^{6-2} $$

1. Вычисляем $$C_6^2$$:

   $$ C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 $$

2. Вычисляем $$(0.51)^2$$:

   $$ (0.51)^2 = 0.2601 $$

3. Вычисляем $$(1-0.51)^{4}$$:

   $$ (0.49)^4 = 0.05764801 $$

4. Подставляем в формулу:

   $$ P(k=2) = 15 \cdot 0.2601 \cdot 0.05764801 = 0.22474843415 \approx 0.2247 $$

Ответ: 0.2247

Задача 3

Дано, что в каждом из 500 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,4. Необходимо найти вероятность того, что событие А происходит точно 220 раз; меньше чем 240 и больше чем 180 раз.

1. Вероятность того, что событие А происходит точно 220 раз:

   Используем формулу Бернулли:

   $$ P(k=220) = C_{500}^{220} \cdot (0.4)^{220} \cdot (0.6)^{280} $$

   Так как $$C_{500}^{220}$$ очень большое число, а $$(0.4)^{220}$$ и $$(0.6)^{280}$$ очень маленькие числа, точное вычисление затруднительно. Можно использовать нормальное приближение биномиального распределения.

2. Вероятность того, что событие А происходит меньше чем 240 и больше чем 180 раз:

   Необходимо найти вероятность $$P(180 < k < 240)$$:

   $$ P(180 < k < 240) = \sum_{k=181}^{239} C_{500}^k \cdot (0.4)^k \cdot (0.6)^{500-k} $$

   Опять же, прямое вычисление этой суммы затруднительно. Используем нормальное приближение биномиального распределения.

3. Нормальное приближение:

   Среднее значение: $$\mu = n \cdot p = 500 \cdot 0.4 = 200$$

   Дисперсия: $$\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1-p) = 500 \cdot 0.4 \cdot 0.6 = 120$$

   Стандартное отклонение: $$\sigma = \sqrt{120} \approx 10.954$$

4. Используем функцию нормального распределения:

   Для $$P(k=220)$$: $$z = \frac{220 - 200}{10.954} \approx 1.826$$, $$P(k=220)$$ можно оценить как значение плотности нормального распределения в точке $$z$$ (с учетом поправки на непрерывность).

   Для $$P(180 < k < 240)$$: нужно вычислить $$P(\frac{180-200}{10.954} < z < \frac{240-200}{10.954})$$, то есть $$P(-1.826 < z < 3.652)$$.

   $$P(-1.826 < z < 3.652) = P(z < 3.652) - P(z < -1.826) \approx 0.9999 - 0.0339 = 0.966$$

Ответ: Вероятность, что событие А произойдет точно 220 раз оценить сложно без калькулятора нормального распределения. Вероятность того, что событие А происходит от 180 до 240 раз приблизительно 0.966

Задача 4

В цехе 6 моторов. Для каждого мотора вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент включены все моторы.

Поскольку моторы включаются независимо друг от друга, вероятность того, что все 6 моторов включены, равна произведению вероятностей включения каждого мотора.

1. Вероятность включения одного мотора = 0,8

2. Вероятность включения всех 6 моторов:

   $$ P(\text{все 6 включены}) = (0.8)^6 = 0.262144 $$

Ответ: 0.262144