ВАРИАНТ 2 1. На единичной окружности постройте точки В и С, полученные при повороте точки А(1,0) на угол а радиан, если: 1) для точки В а = = 27+37; 2) для точки С а = 2л 3 2 2. Вычислить радианную меру угла: a) 75° 6)140° 3. Вычислить градусную меру угла: a) 5 6) 3л 10 4. Упростить: 1 sin (60°-a) - cos(-a) 2 5. Вычислить с использованием теоремы сложения: Cos 390° 6. Вычислить 7π π sin 12 -cos 12 sin cos 7π 12 12 2. sin159.cqs15° 7. Дано: cos a = 3 3-8 - < α <π 8' 2

Привет! Сейчас помогу тебе разобраться с этими заданиями. Будем решать их по порядку.

2. Вычислить радианную меру угла:

а) 75°

Давай переведем градусы в радианы. Нам нужно умножить градусную меру на \(\frac{\pi}{180}\). \[75^\circ = 75 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{75\pi}{180} = \frac{5\pi}{12}\]

б) 140°

Аналогично: \[140^\circ = 140 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{140\pi}{180} = \frac{7\pi}{9}\]

Ответ: а) \(\frac{5\pi}{12}\), б) \(\frac{7\pi}{9}\)

3. Вычислить градусную меру угла:

а) \(\frac{\pi}{5}\)

Теперь переведем радианы в градусы. Нам нужно умножить радианную меру на \(\frac{180}{\pi}\). \[\frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{5} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{180}{5} = 36^\circ\]

б) \(\frac{3\pi}{10}\)

Аналогично: \[\frac{3\pi}{10} = \frac{3\pi}{10} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{3 \cdot 180}{10} = 54^\circ\]

Ответ: а) 36°, б) 54°

4. Упростить:

\[\frac{1}{2} \sin(60^\circ - \alpha) - \frac{3\pi}{2} \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)\]

Сначала упростим \(\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)\). Мы знаем, что \(\cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin(\alpha)\).

Тогда выражение можно переписать как:

\[\frac{1}{2} \sin(60^\circ - \alpha) - \frac{3\pi}{2} \sin(\alpha)\]

Теперь раскроем \(\sin(60^\circ - \alpha)\) используя формулу синуса разности: \(\sin(a - b) = \sin(a) \cos(b) - \cos(a) \sin(b)\)

\[\sin(60^\circ - \alpha) = \sin(60^\circ) \cos(\alpha) - \cos(60^\circ) \sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos(\alpha) - \frac{1}{2} \sin(\alpha)\]

Подставим это в исходное выражение:

\[\frac{1}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos(\alpha) - \frac{1}{2} \sin(\alpha)) - \frac{3\pi}{2} \sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{4} \cos(\alpha) - \frac{1}{4} \sin(\alpha) - \frac{3\pi}{2} \sin(\alpha)\]

Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{4} \cos(\alpha) - \frac{1}{4} \sin(\alpha) - \frac{3\pi}{2} \sin(\alpha)\)

5. Вычислить с использованием теоремы сложения:

\[\cos(390^\circ)\]

Мы знаем, что \(\cos(360^\circ + x) = \cos(x)\). Поэтому:

\[\cos(390^\circ) = \cos(360^\circ + 30^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

6. Вычислить

\[\frac{\sin(\frac{\pi}{12}) \cdot \cos(\frac{7\pi}{12})}{\sin(15^\circ) \cdot \cos(15^\circ)}\]

Заметим, что \(\frac{\pi}{12}\) радиан это 15°, а \(\frac{7\pi}{12}\) радиан это 105°. Тогда выражение можно переписать как:

\[\frac{\sin(15^\circ) \cdot \cos(105^\circ)}{2 \sin(15^\circ) \cdot \cos(15^\circ)}\]

Упростим выражение, используя формулу двойного угла для синуса: \(2 \sin(\alpha) \cos(\alpha) = \sin(2\alpha)\). Тогда:

\[\frac{\sin(15^\circ) \cdot \cos(105^\circ)}{\sin(30^\circ)}\]

Поскольку \(\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}\), выражение упрощается до:

\[2 \sin(15^\circ) \cos(105^\circ)\]

Заметим, что \(\cos(105^\circ) = \cos(90^\circ + 15^\circ) = -\sin(15^\circ)\). Тогда:

\[2 \sin(15^\circ) (-\sin(15^\circ)) = -2 \sin^2(15^\circ)\]

Теперь нам нужно найти \(\sin(15^\circ)\). Мы знаем, что \(\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ)\). Используя формулу синуса разности:

\[\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ) \cos(30^\circ) - \cos(45^\circ) \sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\]

Тогда:

\[-2 \sin^2(15^\circ) = -2 (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})^2 = -2 \cdot \frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{16} = -2 \cdot \frac{8 - 4\sqrt{3}}{16} = -\frac{8 - 4\sqrt{3}}{8} = -1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Ответ: \(-1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\)

7. Дано: \(\cos(\alpha) = -\frac{3}{8}\), \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\)

Найти \(\sin(\alpha)\).

Мы знаем, что \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\). Поэтому:

\[\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) = 1 - (-\frac{3}{8})^2 = 1 - \frac{9}{64} = \frac{64 - 9}{64} = \frac{55}{64}\]

Так как \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\), то \(\sin(\alpha) > 0\). Поэтому:

\[\sin(\alpha) = \sqrt{\frac{55}{64}} = \frac{\sqrt{55}}{8}\]

Ответ: \(\frac{\sqrt{55}}{8}\)