Вариант 1 1. Начертите два неколлинеарных вектора а и b. Постройте векторы, равные: а) \(\frac{1}{2}\)а + 3b; б) 2b – ā. 2. На стороне ВС ромба ABCD лежит точка К так, что BK = KC, O – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы АО, АК, КД через векторы а = АВ и b = AD. 3. В равнобедренной трапеции высота делит большее осно- вание на отрезки, равные 5 см и 12 см. Найдите среднюю линию трапеции. 4*. В треугольнике АВС точка О – точка пересечения меди- ан. Выразите вектор АО через векторы а = АВ и b = АС.

Задание 1

К сожалению, я не могу нарисовать векторы, но могу объяснить, как это сделать:

а) Чтобы построить вектор \(\frac{1}{2}\)а + 3b, нужно сначала вектор a уменьшить в два раза, затем построить вектор 3b (то есть вектор b, умноженный на 3). После этого сложить полученные векторы по правилу параллелограмма или треугольника.

б) Чтобы построить вектор 2b – ā, нужно построить вектор 2b (то есть вектор b, умноженный на 2). Затем изменить направление вектора a на противоположное (-ā) и сложить полученные векторы по правилу параллелограмма или треугольника.

Задание 2

Давай выразим векторы АО, АК, КД через векторы a и b.

1. Вектор АО:

   Так как O - точка пересечения диагоналей ромба, то AO - это половина диагонали AC. В ромбе ABCD, AC = AB + BC = a + b. Следовательно, AO = \(\frac{1}{2}\)(a + b).

2. Вектор АК:

   Так как K - середина BC, то BK = \(\frac{1}{2}\)BC = \(\frac{1}{2}\)AD = \(\frac{1}{2}\)b. Тогда AK = AB + BK = a + \(\frac{1}{2}\)b.

3. Вектор КД:

   КД = -DK = -(DC + CK). DC = AB = a, CK = -\(\frac{1}{2}\)CB = -\(\frac{1}{2}\)AD = -\(\frac{1}{2}\)b. Следовательно, КД = -(a - \(\frac{1}{2}\)b) = -a + \(\frac{1}{2}\)b.

Задание 3

Пусть трапеция ABCD, где AD и BC - основания, BH - высота. Высота делит большее основание AD на отрезки AH = 5 см и HD = 12 см.

Тогда AD = AH + HD = 5 + 12 = 17 см.

Так как трапеция равнобедренная, то AH = (AD - BC) / 2. Отсюда BC = AD - 2AH = 17 - 2 * 5 = 17 - 10 = 7 см.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: m = (AD + BC) / 2 = (17 + 7) / 2 = 24 / 2 = 12 см.

Задание 4

Давай выразим вектор АО через векторы a и b.

Так как O - точка пересечения медиан треугольника ABC, то AO = \(\frac{2}{3}\)AM, где AM - медиана, проведенная из вершины A.

Медиана AM может быть выражена как AM = \(\frac{1}{2}\)(AB + AC) = \(\frac{1}{2}\)(a + b).

Следовательно, AO = \(\frac{2}{3}\)AM = \(\frac{2}{3}\) * \(\frac{1}{2}\)(a + b) = \(\frac{1}{3}\)(a + b).

Ответ: Задание решено по шагам.