Вариант 1 1. Начертите два неколлинеарных вектора а и Б. Постройте 1- векторы, равные: а) -ā + 36; 6) 26-a. 2 2. На стороне ВС ромба ABCD лежит точка К так, что BK = KC, O - точка пересечения диагоналей. Выразите векторы АО, АК, КД через векторы а = АВ и b = AD. 3. В равнобедренной трапеции высота делит большее осно- вание на отрезки, равные 5 см и 12 см. Найдите среднюю линию трапеции. 4*. В треугольнике АВС точка О точка пересечения меди- ан. Выразите вектор АО через векторы а = АВ и Б = АС. Вариант 2 1. Начертите два неколлинеарных вектора ти п. Постройте 1- векторы, равные: а) -m+2n; 6) 3n-m. 3 2. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка Р так, что CP = PD, O точка пересечения диагоналей. Выразите векторы ВО, ВР, РА через векторы х = ВА и у = ВС. 3. В равнобедренной трапеции один из углов равен 60°, бо- ковая сторона равна 8 см, а меньшее основание 7 см. Найдите среднюю линию трапеции. 4*. В треугольнике MNK точка О точка пересечения меди-

Вариант 1

1. Начертите два неколлинеарных вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Постройте векторы, равные:

а) \(\frac{1}{2}\vec{a} + 3\vec{b}\) б) \(2\vec{b} - \vec{a}\)

      \(\vec{a}\)
      ----------------->

      \(\vec{b}\)
      ↑
      |

2. На стороне BC ромба ABCD лежит точка K так, что BK = KC, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\vec{AO}\), \(\vec{AK}\), \(\vec{KD}\) через векторы \(\vec{a} = \vec{AB}\) и \(\vec{b} = \vec{AD}\).

\(\vec{AO} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})\) \(\vec{AK} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\) \(\vec{KD} = \vec{AD} - \vec{AK} = \vec{b} - (\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) = -\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}\)

      A-----------------B
      |                 |
      |                 |
      |         O       K
      |                 |
      |                 |
      D-----------------C

3. В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки, равные 5 см и 12 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть \(a\) и \(b\) - основания трапеции, а \(h\) - высота. Высота делит большее основание на отрезки 5 см и 12 см. Тогда разность оснований равна \(12 - 5 = 7\) см. Так как трапеция равнобедренная, то \(\frac{a - b}{2} = 7\), то есть \(a - b = 14\). Меньший отрезок равен 5 см, значит высота отстоит от края меньшего основания на 5 см. Следовательно, большая сторона равна \(5 + 12 = 17\) см. Тогда меньшая сторона равна \(17 - 14 = 3\) см. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \(\frac{17 + 3}{2} = 10\) см.

Ответ: 10 см.

4*. В треугольнике ABC точка O — точка пересечения медиан. Выразите вектор \(\vec{AO}\) через векторы \(\vec{a} = \vec{AB}\) и \(\vec{b} = \vec{AC}\).

Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. \(\vec{AO} = \frac{2}{3} \vec{AM}\), где M - середина BC. \(\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})\). Следовательно, \(\vec{AO} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b})\)

Вариант 2

1. Начертите два неколлинеарных вектора \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\). Постройте векторы, равные:

a) \(\frac{1}{3}\vec{m} + 2\vec{n}\) б) \(3\vec{n} - \vec{m}\)

      \(\vec{m}\)
      ----------------->

      \(\vec{n}\)
      ↑
      |

2. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка P так, что CP = PD, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\vec{BO}\), \(\vec{BP}\), \(\vec{PA}\) через векторы \(\vec{x} = \vec{BA}\) и \(\vec{y} = \vec{BC}\).

\(\vec{BO} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{BC}) = \frac{1}{2}(\vec{x} + \vec{y})\) \(\vec{BP} = \vec{BC} + \vec{CP} = \vec{y} + \frac{1}{2}\vec{CD} = \vec{y} + \frac{1}{2}\vec{BA} = \vec{y} + \frac{1}{2}\vec{x}\) \(\vec{PA} = \vec{PD} + \vec{DA} = \frac{1}{2}\vec{CD} + \vec{DA} = \frac{1}{2}\vec{BA} + \vec{DA} = \frac{1}{2}\vec{x} + \vec{y}\)

      A-----------------B
      |                 |
      |         O       |
      |                 |
      |                 |
      D---------P-------C

3. В равнобедренной трапеции один из углов равен 60°, боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание — 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть \(a\) и \(b\) - основания трапеции, а \(c\) - боковая сторона. Один из углов равен 60°, и боковая сторона равна 8 см. Так как трапеция равнобедренная, высота, опущенная из вершины меньшего основания, отсекает от большего основания отрезок, равный \(c \cdot \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\) см. Тогда \(\frac{a - b}{2} = 4\), то есть \(a - b = 8\). Меньшее основание равно 7 см, следовательно, большее основание равно \(7 + 8 = 15\) см. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \(\frac{15 + 7}{2} = 11\) см.

Ответ: 11 см.

4*. В треугольнике MNK точка О — точка пересечения медиан.