Вариант 2 1. Начертите два неколлинеарных вектора т и п. Постройте векторы, равные: а) - m/3 + 2n; б) 3n – m. 2. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка Р так, что СР = PD, О – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы ВО, ВР, РА через векторы х = ВА и у = ВС. 3. В равнобедренной трапеции один из углов равен 60°, боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание — 7 см. Найдите среднюю линию трапеции. 4. * В треугольнике MNK точка О точка пересечения медиан, MN = а, МК = y, MO = k (x + y). Найдите число к.

Решение варианта 2

1. Построение векторов

К сожалению, без графического редактора я не смогу построить векторы, но я объясню как это сделать:

а) \[-\frac{m}{3} + 2n\]: Вектор \(m\) нужно уменьшить в три раза и изменить направление (т.к. знак минус). Затем вектор \(n\) нужно удвоить. Полученные векторы нужно сложить по правилу параллелограмма или треугольника.

б) \[3n - m\]: Вектор \(n\) нужно утроить. Затем из полученного вектора вычесть вектор \(m\) (что эквивалентно сложению с вектором \(-m\), то есть вектором, направленным в противоположную сторону).

2. Выражение векторов через x и y

Дано: Квадрат \(ABCD\), точка \(P\) на \(CD\) такая, что \(CP = PD\), \(O\) - точка пересечения диагоналей, \(x = BA\), \(y = BC\).

Выразить векторы \(BO\), \(BP\), \(PA\) через \(x\) и \(y\).

Сначала выразим \(BD\) через \(x\) и \(y\):

\[BD = BA + AD = x + y\]

Теперь выразим \(BO\). Т.к. \(O\) - точка пересечения диагоналей, то \(BO = \frac{1}{2}BD\):

\[BO = \frac{1}{2}(x + y) = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y\]

Теперь выразим \(BP\). Т.к. \(P\) - середина \(CD\), то \(CP = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}BA\):

\[BP = BC + CP = y + \frac{1}{2}x\]

Теперь выразим \(PA\):

\[PA = PD + DA = \frac{1}{2}BA + AD = \frac{1}{2}x + y\]

Ответ:\[BO = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y, BP = y + \frac{1}{2}x, PA = \frac{1}{2}x + y\]

3. Средняя линия трапеции

Дано: Равнобедренная трапеция, один угол равен 60°, боковая сторона равна 8 см, меньшее основание равно 7 см.

Найти: Среднюю линию трапеции.

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Т.к. один угол равен 60°, то и другой угол при этом же основании тоже равен 60°. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°. Значит, углы при другом основании равны 180° - 60° = 120°.

Проведем высоты из вершин меньшего основания. Получим прямоугольные треугольники. В каждом таком треугольнике угол равен 60°, значит, другой угол равен 30°. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Значит, отрезок основания, отсекаемый высотой, равен половине боковой стороны, то есть 8/2 = 4 см.

Большее основание равно меньшему основанию + два отрезка по 4 см. То есть, большее основание равно 7 + 4 + 4 = 15 см.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. То есть, (7 + 15) / 2 = 11 см.

Ответ: 11 см

4. Нахождение числа k

Дано: Треугольник \(MNK\), точка \(O\) - точка пересечения медиан, \(MN = a\), \(MK = y\), \(MO = k(x + y)\).

Найти: Число \(k\).

В условии задачи есть небольшая неточность. Вектор \(MO\) должен быть выражен через векторы \(MN\) и \(MK\), т.е. \(MO = k(a + y)\). Предполагаю, что произошла опечатка и вместо вектора \(a\) должен быть вектор \(x\).

Т.к. \(O\) - точка пересечения медиан, то медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Значит, \(MO = \frac{2}{3} \cdot медиана\).

Медиана, проведенная из вершины \(M\), равна \(\frac{1}{2}(MN + MK) = \frac{1}{2}(a + y)\).

Тогда, \(MO = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(a + y) = \frac{1}{3}(a + y)\).

Следовательно, \(k = \frac{1}{3}\).

Ответ: \(k = \frac{1}{3}\)