Вариант 2 1. Начертите два неколлинеарных вектора т и п. Постройте векторы, равные: а) -m/3 + 2п; б) 3n – m. 2. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка Р так, что СР = PD, Ο - точка пересечения диагоналей. Выразите векторы ВО, ВР, РА через векторы х = ВА и у = BC. 3. В равнобедренной трапеции один из углов равен 60°, боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание - 7 см. Найдите среднюю линию трапеции. 4. * В треугольнике MNK точка О точка пересечения медиан, MN = а, МК = y, MO = k (x + y). Найдите число к.

Решение:

1. Начертите два неколлинеарных вектора m и n. Постройте векторы, равные:
   1. $$-\frac{m}{3} + 2n$$
   2. $$3n - m$$
2. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка P так, что CP = PD, O - точка пересечения диагоналей. Выразите векторы BO, BP, PA через векторы x = BA и y = BC.
   1. Выразим вектор BO через векторы BA и BC: $$BO = \frac{1}{2}(BA + BC) = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y$$
   2. Выразим вектор BP через векторы BA и BC: Т.к. P середина CD, то CP = PD = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC $$BP = BC + CP = BC + \frac{1}{2}BA = y + \frac{1}{2}x$$
   3. Выразим вектор PA через векторы BA и BC: $$PA = PC + CA = \frac{1}{2}BA + BA - BC = \frac{3}{2}BA - BC = \frac{3}{2}x - y$$
3. В равнобедренной трапеции один из углов равен 60°, боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание - 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.

         B              C
         *---------------*
        /|              |\
       / |              |  \
   A *--|------------|--* D
       E  A              F
   

   1. Пусть ABCD - равнобедренная трапеция, BC = 7 см, AB = CD = 8 см, угол BAD = 60°. Проведем высоты BE и CF. Тогда ABE и DCF - прямоугольные треугольники.
   2. Рассмотрим треугольник ABE: угол ABE = 90°, угол BAE = 60°, следовательно, угол ABE = 30°. AE = AB * cos(60°) = 8 * (1/2) = 4 см.
   3. Т.к. трапеция равнобедренная, то AE = DF = 4 см. AD = AE + EF + FD = 4 + 7 + 4 = 15 см.
   4. Средняя линия трапеции MN = (BC + AD) / 2 = (7 + 15) / 2 = 11 см.
4. В треугольнике MNK точка O - точка пересечения медиан, MN = a, MK = y, MO = k (x + y). Найдите число k.
   1. Точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
   2. MO = (2/3) * медиана, проведенная из вершины M.
   3. В данной задаче не хватает информации для решения.

Ответ:

1. 1. $$-\frac{m}{3} + 2n$$
   2. $$3n - m$$
2. 1. $$BO = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y$$
   2. $$BP = y + \frac{1}{2}x$$
   3. $$PA = \frac{3}{2}x - y$$
3. Средняя линия трапеции равна 11 см.
4. Невозможно найти число k.