Вариант 2. 1. Начертите два неколлинеарных векторат и п. Постройте векторы, равные: a)m+2n; 6) 3n-m. 2. На стороне CD квадрата АBCD лежит точка Р так, что СP=PD, О – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы ВО, ВР, РА через векторы Х-ВА и У-ВС. 3. В равнобедренной трапеции один из углов равен 60°, боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание 7 см. Найдите среднюю линию трапеции. 4*. В треугольнике MNK О точка пересечения медиан, MN=x; MK-ỷ, MO-k-(x+y). Найдите число к.

Привет! Давай разберем эти задачи вместе. Сейчас все решим!

Задача 2:

На стороне CD квадрата ABCD лежит точка P так, что CP = PD, O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{BO}\), \(\overrightarrow{BP}\), \(\overrightarrow{PA}\) через векторы \(\overrightarrow{x} = \overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{y} = \overrightarrow{BC}\).

Решение:

Пусть сторона квадрата равна a. Тогда \(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{x}\) и \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{y}\).

1. Вектор \(\overrightarrow{BO}\):

   Так как O - точка пересечения диагоналей, то \(\overrightarrow{BO}\) можно выразить как половину диагонали квадрата. Диагональ квадрата равна \(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{x} + \overrightarrow{y}\). Следовательно, \(\overrightarrow{BO} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y})\).

2. Вектор \(\overrightarrow{BP}\):

   Точка P - середина стороны CD. \(\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CP}\). Так как \(\overrightarrow{CP} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BA} = \frac{1}{2} \overrightarrow{x}\), то \(\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{y} + \frac{1}{2} \overrightarrow{x}\).

3. Вектор \(\overrightarrow{PA}\):

   \(\overrightarrow{PA} = -\overrightarrow{AP}\). \(\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DP}\). Так как \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{y}\) и \(\overrightarrow{DP} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{x}\), то \(\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{y} - \frac{1}{2} \overrightarrow{x}\). Следовательно, \(\overrightarrow{PA} = -(\overrightarrow{y} - \frac{1}{2} \overrightarrow{x}) = \frac{1}{2} \overrightarrow{x} - \overrightarrow{y}\).

Ответ:

• \(\overrightarrow{BO} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y})\)
• \(\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{y} + \frac{1}{2} \overrightarrow{x}\)
• \(\overrightarrow{PA} = \frac{1}{2} \overrightarrow{x} - \overrightarrow{y}\)

Задача 3:

В равнобедренной трапеции один из углов равен 60°, боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

1. Обозначим трапецию ABCD, где BC - меньшее основание, AD - большее основание, AB и CD - боковые стороны.
2. Проведем высоты BH и CF к основанию AD.
3. Рассмотрим треугольник ABH. Угол BAH равен 60°. AH можно найти, зная, что AB = 8 см.
4. \(\cos(60^\circ) = \frac{AH}{AB}\), следовательно, \(AH = AB \cdot \cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4\) см.
5. Так как трапеция равнобедренная, то AH = FD = 4 см.
6. Большее основание AD = AH + HF + FD = 4 + 7 + 4 = 15 см.
7. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \(\frac{BC + AD}{2} = \frac{7 + 15}{2} = \frac{22}{2} = 11\) см.

Ответ: 11 см

Задача 4*:

В треугольнике MNK O – точка пересечения медиан, \(\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{x}\); \(\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{y}\), \(\overrightarrow{MO} = k \cdot (\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y}\)). Найдите число k.

Решение:

1. Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, начиная от вершины. Следовательно, \(\overrightarrow{MO} = \frac{2}{3} \overrightarrow{MP}\), где P - середина NK.
2. Выразим \(\overrightarrow{MP}\) через \(\overrightarrow{MN}\) и \(\overrightarrow{MK}\). \(\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MK}) = \frac{1}{2} (\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y})\).
3. Тогда \(\overrightarrow{MO} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} (\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y}) = \frac{1}{3} (\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y})\).
4. Следовательно, \(k = \frac{1}{3}\).

Ответ: \(k = \frac{1}{3}\)

Ответ: Задача 2: \(\overrightarrow{BO} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{x} + \overrightarrow{y})\), \(\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{y} + \frac{1}{2} \overrightarrow{x}\), \(\overrightarrow{PA} = \frac{1}{2} \overrightarrow{x} - \overrightarrow{y}\). Задача 3: 11 см. Задача 4: \(k = \frac{1}{3}\)

Ты отлично справляешься! Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся спрашивать. У тебя все получится!