Вариант 2 1. Начертите два неколлинеарных векторат и п. Постройте 1- векторы, равные: а) -m -m + 2n; 6) 3n – m. 3" - 2. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка Р так, что CP = PD, O - точка пересечения диагоналей. Выразите векторы ВО, ВР, РА через векторы х = ВА и у = ВС. 3. В равнобедренной трапеции один из углов равен 60°, бо- ковая сторона равна 8 см, а меньшее основание - 7 см. Найдите среднюю линию трапеции. 4*. В треугольнике MNK точка О - точка пересечения меди- ан, MN =х, MK = y, MO = k. (x + y). Найдите число к.

1. Два неколлинеарных вектора m и n и векторы, равные:

1. а) $$\frac{1}{3} \vec{m} + 2 \vec{n}$$
   Начертим векторы $$\vec{m}$$ и $$\vec{n}$$, затем вектор $$\frac{1}{3} \vec{m}$$, затем вектор $$2\vec{n}$$, и, наконец, вектор, равный сумме этих векторов.
2. б) $$3\vec{n} - \vec{m}$$
   Начертим векторы $$\vec{m}$$ и $$\vec{n}$$, затем вектор $$3 \vec{n}$$, затем вектор $$\vec{-m}$$, и, наконец, вектор, равный сумме этих векторов.

2. Дано: ABCD - квадрат, CP = PD, O - точка пересечения диагоналей, BA = x, BC = y.
Выразить: BO, BP, PA через x и y.
Решение:
        C    D
        ------
       |      |
       |  O   P
       |      |
   A   |      |   B
    ------
BO = BA + AO = BA + 1/2 AC = BA + 1/2 (AB + BC) = -x + 1/2 ((-x) + y) = -x - 1/2 x + 1/2 y = -3/2 x + 1/2 y
BP = BC + CP = BC + 1/2 CD = y + 1/2 BA = y - 1/2 x
PA = PD + DA = 1/2 CD + (-BC) = 1/2 BA - BC = -1/2 x - y
Ответ:
BO = -3/2 x + 1/2 y
BP = y - 1/2 x
PA = -1/2 x - y

3. Дано: Равнобедренная трапеция, один из углов равен 60 градусов, боковая сторона равна 8 см, меньшее основание - 7 см.
Найти: Среднюю линию трапеции.
Решение:
Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где BC - меньшее основание, AD - большее основание, AB = CD = 8 см, угол A = углу D = 60 градусов, BC = 7 см.
Проведем высоты BH и CF к основанию AD.
Тогда AH = FD = (AD - BC) / 2
Рассмотрим треугольник ABH: он прямоугольный, угол A = 60 градусов, значит угол ABH = 30 градусов.
Тогда AH = 1/2 * AB = 1/2 * 8 = 4 см (катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы)
AD = BC + 2 * AH = 7 + 2 * 4 = 7 + 8 = 15 см
Средняя линия трапеции MN = (BC + AD) / 2 = (7 + 15) / 2 = 22 / 2 = 11 см
Ответ: 11 см

4*. Дано: В треугольнике MNK точка O - точка пересечения медиан, MN = x, MK = y, MO = k * (x + y).
Найти: Число k.
Решение:
Пусть MP - медиана треугольника MNK, тогда MO = 2/3 MP.
MP = MN + NP = MN + 1/2 NK
NK = MK - MN = y - x
MP = x + 1/2 (y - x) = x + 1/2 y - 1/2 x = 1/2 x + 1/2 y = 1/2 (x + y)
MO = 2/3 MP = 2/3 * 1/2 (x + y) = 1/3 (x + y)
Так как MO = k * (x + y), то k = 1/3
Ответ: 1/3

Ответ: