Вариант 1 4. Начертите два неколлинеарных вектора а и в. Постройте векторы, равные: a) –a/2 + 3b; 6) 2b a. 5. На стороне ВС ромба ABCD лежит точка К так, что ВК = КС, О – точка пересечения диагоналей. Выразите векторы АО, АК, KD через векторы а = АВ и b = AD. 6. В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки, равные 5 см и 12 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Здравствуйте, ученик! Разберем задачи по порядку.

4. Векторы

Для решения этой задачи необходимо начертить два неколлинеарных вектора a и b, а затем построить векторы, равные данным выражениям.

• a) -a/2 + 3b:
• Сначала строим вектор -a/2 (вектор, противоположный по направлению вектору a и в два раза меньше по длине).
• Затем строим вектор 3b (вектор, сонаправленный вектору b и в три раза больше по длине).
• Складываем полученные векторы -a/2 и 3b по правилу параллелограмма или треугольника.
• б) 2b - a:
• Сначала строим вектор 2b (вектор, сонаправленный вектору b и в два раза больше по длине).
• Затем строим вектор -a (вектор, противоположный по направлению вектору a).
• Складываем полученные векторы 2b и -a по правилу параллелограмма или треугольника.

5. Ромб

Пусть ABCD - ромб, O - точка пересечения диагоналей, K - середина BC. Требуется выразить векторы AO, AK, KD через векторы a = AB и b = AD.

• AO:
• В ромбе диагонали являются биссектрисами углов и точкой пересечения делятся пополам.
• AO = 1/2 AC
• AC = AB + BC = a + b
• AO = 1/2 (a + b) = a/2 + b/2
• AK:
• AK = AB + BK
• BK = 1/2 BC = 1/2 AD = 1/2 b
• AK = a + 1/2 b
• KD:
• KD = CD - CK
• CD = -AB = -a
• CK = 1/2 CB = -1/2 BC = -1/2 AD = -1/2 b
• KD = -a - (-1/2 b) = -a + 1/2 b

6. Трапеция

В равнобедренной трапеции высота делит большее основание на отрезки 5 см и 12 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD - большее основание, BC - меньшее основание. Высота BH делит основание AD на отрезки AH = 5 см и HD = 12 см.

Свойства равнобедренной трапеции:

• Высота, проведенная из вершины тупого угла, отсекает от большего основания отрезок, равный полуразности оснований.
• AH = (AD - BC) / 2

Тогда:

• 5 = (12 + 5 - BC) / 2
• 10 = 17 - BC
• BC = 17 - 10 = 7 см

Средняя линия трапеции (m) равна полусумме оснований:

m = (AD + BC) / 2 = (17 + 7) / 2 = 24 / 2 = 12 см

Ответ: 12 см