Вариант 1 1. Начертите неколлинеарные векторы а, б, с. Постройте векторы, равные: а) \frac{1}{3}а+\frac{1}{2}c; б) -a+\frac{2}{3}b+0,5c. 2. На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD отмечены точки К и Е так, что ВК = КC, CE: ED = 2: 3. Выразите векторы АК, АЕ, КЕ через векторы а = АВ и b = AD. 3. В трапеции ABCD ∠A = 60°, ∠D = 45°, меньшая боковая сторона равна 10 см, а меньшее основание 8 см. Найдите сред- нюю линию трапеции. 4*. В треугольнике АВС точка В₁ — середина АС, точка А₁ ле- жит на стороне ВС так, что ВА₁: А₁С = 1 : 2. Используя векторы, докажите, что середина ВВ₁ лежит на прямой АА₁.

Решение:

1. Начертите неколлинеарные векторы $$ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$$. Постройте векторы, равные:
   1. $$\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$$
   2. $$- \vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} + 0,5\vec{c}$$

Для решения данной задачи необходимо выполнить построения векторов в соответствии с заданными коэффициентами и операциями сложения. Так как построение выполняется графически, здесь будет предоставлено только описание, как это сделать.

1. Построение вектора $$\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$$

   1. Вектор $$\frac{1}{3}\vec{a}$$: уменьшите длину вектора $$\vec{a}$$ в три раза. Направление остается тем же.
   2. Вектор $$\frac{1}{2}\vec{c}$$: уменьшите длину вектора $$\vec{c}$$ в два раза. Направление остается тем же.
   3. Сложите полученные векторы $$\frac{1}{3}\vec{a}$$ и $$\frac{1}{2}\vec{c}$$ по правилу параллелограмма или треугольника.

2. Построение вектора $$- \vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} + 0,5\vec{c}$$

   1. Вектор $$- \vec{a}$$: измените направление вектора $$\vec{a}$$ на противоположное. Длина остается той же.
   2. Вектор $$\frac{2}{3}\vec{b}$$: уменьшите длину вектора $$\vec{b}$$ в три раза и возьмите две части. Направление остается тем же.
   3. Вектор $$0,5\vec{c}$$: уменьшите длину вектора $$\vec{c}$$ в два раза. Направление остается тем же.
   4. Сложите полученные векторы $$- \vec{a}$$, $$\frac{2}{3}\vec{b}$$ и $$0,5\vec{c}$$ последовательно, например, по правилу многоугольника.

---

2. На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD отмечены точки K и E так, что ВК = КC, CE: ED = 2: 3. Выразите векторы АК, АЕ, КЕ через векторы а = АВ и b = AD.

Решение:

Выразим векторы $$\vec{AK}$$, $$\vec{AE}$$ и $$\vec{KE}$$ через векторы $$\vec{a} = \vec{AB}$$ и $$\vec{b} = \vec{AD}$$.

1. Вектор $$\vec{AK}$$:

   Так как K - середина BC, то $$\vec{BK} = \frac{1}{2} \vec{BC} = \frac{1}{2} \vec{AD} = \frac{1}{2} \vec{b}$$

   Тогда, $$\vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$$

2. Вектор $$\vec{AE}$$:

   Так как CE:ED = 2:3, то $$\vec{CE} = \frac{2}{5} \vec{CD} = \frac{2}{5} \vec{BA} = -\frac{2}{5} \vec{a}$$

   Тогда, $$\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE} = \vec{AD} + \frac{3}{5} \vec{DC} = \vec{b} + \frac{3}{5} \vec{a}$$

3. Вектор $$\vec{KE}$$:

   $$\vec{KE} = \vec{AE} - \vec{AK} = (\vec{b} + \frac{3}{5} \vec{a}) - (\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}) = -\frac{2}{5} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$$

Ответ: $$ \vec{AK} = \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$$, $$ \vec{AE} = \frac{3}{5} \vec{a} + \vec{b}$$, $$ \vec{KE} = -\frac{2}{5} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$$

---

3. В трапеции ABCD ∠A = 60°, ∠D = 45°, меньшая боковая сторона равна 10 см, а меньшее основание 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Пусть ABCD - трапеция, где BC - меньшее основание, AD - большее основание, AB и CD - боковые стороны, причем AB = 10 см, BC = 8 см, ∠A = 60°, ∠D = 45°.

Опустим высоты BH и CF на основание AD. Тогда ABH и CDF - прямоугольные треугольники.

Из прямоугольного треугольника ABH: $$BH = AB \cdot sin(A) = 10 \cdot sin(60°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$$

Из прямоугольного треугольника CDF: $$CF = BH = 5\sqrt{3}$$ $$CD = \frac{CF}{sin(D)} = \frac{5\sqrt{3}}{sin(45°)} = \frac{5\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 5\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{6}$$

Тогда HD = BC = 8. Рассмотрим треугольник ABH. AH = AB * cos(60) = 10 * 0.5 = 5.

Рассмотрим треугольник CDF. FD = CF * ctg(45) = 5 * sqrt(3) * 1 = 5 * sqrt(3)

AD = AH + HD + FD = 5 + 8 + 5 * sqrt(3) = 13 + 5 * sqrt(3).

Средняя линия трапеции MN = (BC + AD) / 2 = (8 + 13 + 5 * sqrt(3)) / 2 = (21 + 5 * sqrt(3)) / 2.

Средняя линия трапеции равна $$\frac{21 + 5\sqrt{3}}{2}$$

Ответ: Средняя линия трапеции равна $$\frac{21 + 5\sqrt{3}}{2}$$ см.

---

4. * В треугольнике АВС точка В₁ — середина АС, точка А₁ лежит на стороне ВС так, что ВА₁: А₁С = 1 : 2. Используя векторы, докажите, что середина ВВ₁ лежит на прямой АА₁.

Доказательство:

Пусть M - середина отрезка $$BB_1$$. Наша цель - показать, что точка M лежит на прямой $$AA_1$$, то есть векторы $$\vec{AM}$$ и $$\vec{AA_1}$$ коллинеарны.

Выразим вектор $$\vec{AM}$$ через векторы $$\vec{AB}$$ и $$\vec{AC}$$:

$$\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AB_1})$$

Так как $$B_1$$ - середина $$AC$$, то $$\vec{AB_1} = \frac{1}{2}\vec{AC}$$

$$\vec{AM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}) = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{4}\vec{AC}$$

Выразим вектор $$\vec{AA_1}$$ через векторы $$\vec{AB}$$ и $$\vec{AC}$$:

Так как $$BA_1:A_1C = 1:2$$, то $$\vec{BA_1} = \frac{1}{3}\vec{BC} = \frac{1}{3}(\vec{AC} - \vec{AB})$$

$$\vec{AA_1} = \vec{AB} + \vec{BA_1} = \vec{AB} + \frac{1}{3}(\vec{AC} - \vec{AB}) = \frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$$

Теперь сравним $$\vec{AM}$$ и $$\vec{AA_1}$$:

$$\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{4}\vec{AC}$$

$$\vec{AA_1} = \frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$$

Чтобы доказать коллинеарность, нужно показать, что $$\vec{AM} = k \cdot \vec{AA_1}$$ для некоторого числа k.

Из выражения для $$\vec{AA_1}$$ выразим $$\vec{AB}$$ и подставим в выражение для $$\vec{AM}$$:

$$\frac{3}{2}\vec{AA_1} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}$$

$$\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{4}\vec{AC} = \frac{3}{4}(\frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}) = \frac{3}{4}(\vec{AA_1}) = \frac{3}{4}(\frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}) = \frac{3}{4}(\frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC})$$

Что значит, $$AM = \frac{3}{4}*AA_1$$, т.е вектора $$AM$$ и $$AA_1$$ коллинеарны, и следовательно точка M лежит на прямой $$AA_1$$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что середина BB₁ лежит на прямой AA₁.