Вариант 1 1. Начертите неколлинеарные векторы а, б, с. Постройте 1- векторы, равные: а) -50+25; 6) - +35+0,5c. 3 -a+ c; -a 2. На сторонах ВС и CD параллелограмма АBCD отмечены точки К и Е так, что ВК = KC, CE : ED = 2 : 3. Выразите векторы АК, АЕ, КЕ через векторы а = АВ и Б = AD. 3. В трапеции ABCD ∠A = 60°, ∠D = 45°, меньшая боковая сторона равна 10 см, а меньшее основание 8 см. Найдите сред- нюю линию трапеции. 1 4*. В треугольнике АВС точка В₁ – середина АС, точка А, ле- жит на стороне ВС так, что ВА₁: АС = 1 : 2. Используя векторы, докажите, что середина ВВ, лежит на прямой АА₁

Решение задания 1

a) Построим вектор равный \[ \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{c} \]

Сначала построим вектор \[ \frac{1}{3}\vec{a} \]. Для этого разделим вектор \[ \vec{a} \] на три равные части и возьмем одну из них.

Затем построим вектор \[ \frac{2}{3}\vec{c} \]. Для этого разделим вектор \[ \vec{c} \] на три равные части и возьмем две из них.

Сложим векторы \[ \frac{1}{3}\vec{a} \] и \[ \frac{2}{3}\vec{c} \] по правилу параллелограмма или треугольника. Полученный вектор и будет вектором \[ \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{c} \].

б) Построим вектор равный \[ -\vec{a} + \frac{3}{2}\vec{b} + 0.5\vec{c} \]

Сначала построим вектор \[ -\vec{a} \]. Этот вектор будет направлен в противоположную сторону вектору \[ \vec{a} \] и иметь ту же длину.

Затем построим вектор \[ \frac{3}{2}\vec{b} \]. Для этого увеличим длину вектора \[ \vec{b} \] в 1.5 раза.

Затем построим вектор \[ 0.5\vec{c} \]. Для этого уменьшим длину вектора \[ \vec{c} \] в 2 раза.

Сложим векторы \[ -\vec{a} \], \[ \frac{3}{2}\vec{b} \] и \[ 0.5\vec{c} \] по правилу многоугольника. Полученный вектор и будет вектором \[ -\vec{a} + \frac{3}{2}\vec{b} + 0.5\vec{c} \].

Решение задания 2

Выразим векторы \[ \vec{AK}, \vec{AE}, \vec{KE} \] через векторы \[ \vec{a} = \vec{AB} \] и \[ \vec{b} = \vec{AD} \].

Так как K - середина BC, то \[ \vec{BK} = \frac{1}{2}\vec{BC} = \frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{b} \]

Тогда \[ \vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BK} = \vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} \]

Так как CE : ED = 2 : 3, то \[ \vec{CE} = \frac{2}{5}\vec{CD} = \frac{2}{5}(-\vec{AB}) = -\frac{2}{5}\vec{a} \]

Тогда \[ \vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE} = \vec{b} + \frac{3}{5}\vec{AB} = \vec{b} + \frac{3}{5}\vec{a} \]

И \[ \vec{KE} = \vec{AE} - \vec{AK} = (\vec{b} + \frac{3}{5}\vec{a}) - (\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) = \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{2}{5}\vec{a} \]

Решение задания 3

В трапеции ABCD \[ \angle A = 60^\circ \], \[ \angle D = 45^\circ \], меньшая боковая сторона равна 10 см, а меньшее основание 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Пусть BM и CN - высоты трапеции. Тогда AMNB - прямоугольник, и MN = BC = 8 см.

В прямоугольном треугольнике ABM \[ \angle A = 60^\circ \], следовательно, \[ \angle ABM = 30^\circ \]. Тогда AM = AB \cdot cos(60°) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \]

В прямоугольном треугольнике CDN \[ \angle D = 45^\circ \], следовательно, треугольник CDN - равнобедренный, и CN = ND.

Так как BMCN - прямоугольник, то CN = BM.

Из треугольника ABM: BM = AB \cdot sin(60°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \]

Тогда ND = 5\sqrt{3} \]

AD = AM + MN + ND = 5 + 8 + 5\sqrt{3} = 13 + 5\sqrt{3} \]

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: \[ \frac{BC + AD}{2} = \frac{8 + 13 + 5\sqrt{3}}{2} = \frac{21 + 5\sqrt{3}}{2} \]

Решение задания 4

В треугольнике ABC точка B₁ – середина AC, точка A₁ лежит на стороне BC так, что BA₁: AC = 1 : 2. Используя векторы, докажите, что середина BB₁ лежит на прямой AA₁.

Пусть O - середина BB₁. Тогда \[ \vec{BO} = \frac{1}{2}\vec{BB_1} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \vec{AB_1}) \]

Так как B₁ - середина AC, то \[ \vec{AB_1} = \frac{1}{2}(\vec{AC}) \]

Тогда \[ \vec{BO} = \frac{1}{2}(\vec{BA} + \frac{1}{2}\vec{AC}) = \frac{1}{2}\vec{BA} + \frac{1}{4}\vec{AC} \]

Так как A₁ лежит на стороне BC и BA₁: AC = 1 : 2, то BA₁ = \(\frac{1}{2}\)AC. Следовательно, AC = 2BA₁.

Значит, \[ \vec{A_1C} = \frac{1}{2}\vec{AC} \], и A₁ является точкой на прямой BC.

Предположим, что O лежит на прямой AA₁. Тогда \[ \vec{AO} = k \vec{AA_1} \] для некоторого числа k.

\[ \vec{AO} = \vec{AB} + \vec{BO} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{BA} + \frac{1}{4}\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{4}\vec{AC} \]

\[ \vec{AA_1} = \vec{AB} + \vec{BA_1} = \vec{AB} + \vec{BC} - \vec{A_1C} = \vec{AB} + \vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AC} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC} \]

Таким образом, \[ \frac{1}{2}\vec{AB} + \frac{1}{4}\vec{AC} = k(\vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AC}) \]

Для равенства этих векторов необходимо, чтобы выполнялось \[ \frac{1}{2} = k \] и \[ \frac{1}{4} = \frac{1}{2}k \], откуда \[ k = \frac{1}{2} \]

Следовательно, точка O лежит на прямой AA₁.