Вариант 1 1. Начертите вектор х такой, что 2 см. Постройте век- торы 3х-2x-x 2 2. В параллелограмме ABCD на стороне АВ отмечена точка К так, что АК: КB = 2:1. Оточка пересечения диагоналей Выразите векторы Оси СК через векторы = AB: b = AD.

1. Начертите вектор x такой, что |x| = 2 см. Постройте векторы 3x - 2x - 1/2x.

Для решения данной задачи необходимо выполнить следующие построения и вычисления:

• Начертим вектор x длиной 2 см.
• Вектор 3x будет в три раза длиннее вектора x, то есть 3 * 2 см = 6 см. Начертим вектор 3x.
• Вектор 2x будет в два раза длиннее вектора x, то есть 2 * 2 см = 4 см. Начертим вектор 2x в том же направлении, что и вектор 3x.
• Вектор 1/2x будет в два раза короче вектора x, то есть 2 см / 2 = 1 см. Начертим вектор 1/2x в противоположном направлении вектора 3x.
• Теперь построим вектор 3x - 2x - 1/2x. Сначала вычтем из вектора 3x вектор 2x. Получится вектор x, равный 2 см.
• Затем вычтем из вектора x вектор 1/2x. Получится вектор длиной 2 см - 1 см = 1 см.

Таким образом, вектор 3x - 2x - 1/2x имеет длину 1 см и направлен в ту же сторону, что и вектор x.

           3x                                   2x
<------------------------>  <---------------->
|------------------------|----------------|
           x                                     1/2x
<---------->          <-------->
|----------|----------|          |------|
           3x-2x-1/2x
<------->
|--------|

Ответ: Вектор 3x - 2x - 1/2x имеет длину 1 см и то же направление, что и вектор x.

2. В параллелограмме ABCD на стороне AB отмечена точка K так, что AK : KB = 2 : 1. O - точка пересечения диагоналей. Выразите векторы OK и CK через векторы a = AB и b = AD.

Для решения задачи нужно выразить векторы OK и CK через векторы a и b.

• Выразим вектор AK через вектор a: $$AK = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3}a$$ Так как AK : KB = 2 : 1, то AK составляет 2/3 от AB.
• Выразим вектор AO через векторы a и b: $$AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}(AB + BC) = \frac{1}{2}(a + b)$$ Так как O - точка пересечения диагоналей, то AO составляет половину AC. Вектор AC равен сумме векторов AB и BC, а вектор BC равен вектору AD, то есть b.
• Выразим вектор OK через векторы a и b: $$OK = AK - AO = \frac{2}{3}a - \frac{1}{2}(a + b) = \frac{2}{3}a - \frac{1}{2}a - \frac{1}{2}b = \frac{1}{6}a - \frac{1}{2}b$$ Вектор OK равен разности векторов AK и AO.
• Выразим вектор AC через векторы a и b: $$AC = AB + BC = a + b$$ Вектор AC равен сумме векторов AB и BC.
• Выразим вектор KC через векторы a и b: $$KC = AC - AK = (a + b) - \frac{2}{3}a = \frac{1}{3}a + b$$ Вектор KC равен разности векторов AC и AK.
• Выразим вектор CK через векторы a и b: $$CK = -KC = -(\frac{1}{3}a + b) = -\frac{1}{3}a - b$$ Вектор CK противоположен вектору KC.

Ответ: $$OK = \frac{1}{6}a - \frac{1}{2}b$$, $$CK = -\frac{1}{3}a - b$$