Вариант 3 1) Найдите 7cos2a, если sina = -0,2 2) Найдите значение выражения 32sin7°cos7° sin14° 3) Найдите значение выражения 28(sin278°-cos278°) cos156° 4) Найдите 2sin6a 5cos3a , если sin3a = 0,8 5) Найдите значение выражения sin 23π 12 cos 23π 12 6) Упростите выражение tg a (1 + cos 2a) 7) Упростите выражение 1+sin 2x (sin x + cosx)² 8) Решите уравнение sin² - со sin²-cos²= 6 6 1 2

Задание 1

Дано: \(\sin a = -0.2\). Найти: \(7\cos 2a\)

Используем формулу двойного угла: \(\cos 2a = 1 - 2\sin^2 a\)

Тогда:

\[7\cos 2a = 7(1 - 2\sin^2 a) = 7(1 - 2(-0.2)^2) = 7(1 - 2(0.04)) = 7(1 - 0.08) = 7(0.92) = 6.44\]

Ответ: 6.44

Задание 2

Дано выражение: \(\frac{32\sin 7^\circ \cos 7^\circ}{\sin 14^\circ}\)

Используем формулу двойного угла: \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\)

Тогда, \(32\sin 7^\circ \cos 7^\circ = 16(2\sin 7^\circ \cos 7^\circ) = 16\sin (2 \cdot 7^\circ) = 16\sin 14^\circ\)

Подставим в выражение:

\[\frac{16\sin 14^\circ}{\sin 14^\circ} = 16\]

Ответ: 16

Задание 3

Дано выражение: \(\frac{28(\sin^2 78^\circ - \cos^2 78^\circ)}{\cos 156^\circ}\)

Преобразуем числитель, используя формулу \(\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x\)

Тогда, \(\sin^2 78^\circ - \cos^2 78^\circ = -(\cos^2 78^\circ - \sin^2 78^\circ) = -\cos (2 \cdot 78^\circ) = -\cos 156^\circ\)

Подставим в выражение:

\[\frac{28(-\cos 156^\circ)}{\cos 156^\circ} = -28\]

Ответ: -28

Задание 4

Дано: \(\sin 3a = 0.8\). Найти: \(\frac{2\sin 6a}{5\cos 3a}\)

Используем формулу двойного угла: \(\sin 6a = 2\sin 3a \cos 3a\)

Тогда:

\[\frac{2\sin 6a}{5\cos 3a} = \frac{2(2\sin 3a \cos 3a)}{5\cos 3a} = \frac{4\sin 3a \cos 3a}{5\cos 3a} = \frac{4\sin 3a}{5} = \frac{4(0.8)}{5} = \frac{3.2}{5} = 0.64\]

Ответ: 0.64

Задание 5

Дано выражение: \(\sin \frac{23\pi}{12} \cos \frac{23\pi}{12}\)

Упростим выражение, используя формулу двойного угла: \(\sin 2x = 2\sin x \cos x\), то есть, \(\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x\)

Тогда:

\[\sin \frac{23\pi}{12} \cos \frac{23\pi}{12} = \frac{1}{2} \sin (2 \cdot \frac{23\pi}{12}) = \frac{1}{2} \sin \frac{23\pi}{6} = \frac{1}{2} \sin (4\pi - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} (-\sin \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}\]

Ответ: -0.25

Задание 6

Дано выражение: \(\operatorname{tg} \alpha (1 + \cos 2\alpha)\)

Используем формулу \(\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1\)

Тогда:

\[\operatorname{tg} \alpha (1 + \cos 2\alpha) = \operatorname{tg} \alpha (1 + 2\cos^2 \alpha - 1) = \operatorname{tg} \alpha (2\cos^2 \alpha) = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot 2\cos^2 \alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha\]

Ответ: \(\sin 2\alpha\)

Задание 7

Дано выражение: \(\frac{1 + \sin 2x}{(\sin x + \cos x)^2}\)

Преобразуем знаменатель:

\[(\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x \cos x = 1 + \sin 2x\]

Тогда:

\[\frac{1 + \sin 2x}{1 + \sin 2x} = 1\]

Ответ: 1

Задание 8

Дано уравнение: \(\sin^2 \frac{x}{6} - \cos^2 \frac{x}{6} = \frac{1}{2}\)

Умножим обе части уравнения на -1:

\[\cos^2 \frac{x}{6} - \sin^2 \frac{x}{6} = -\frac{1}{2}\]

Используем формулу \(\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x\)

\[\cos (2 \cdot \frac{x}{6}) = -\frac{1}{2}\]

\[\cos \frac{x}{3} = -\frac{1}{2}\]

\[\frac{x}{3} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

\[x = \pm 2\pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \(x = \pm 2\pi + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}\)