Вариант 1 1. Найдите диагональ куба если ребро равно 10\sqrt{3} 2. В тетраэдре ABCD все ребра равны 8 см. а) Найдите расстояние между АВ и DC. б) косинус двугранного угла DABC 3. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагональ параллелепипеда равна 2\sqrt{6} см, а его измерения относятся как 1:1:2. Найдите: а) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

Решение задания 1:

Давай вспомним, что диагональ куба можно найти по формуле:

\[d = a\sqrt{3},\]

где d – диагональ куба, а a – длина ребра куба.

В нашем случае ребро куба равно 10\(\sqrt{3}\). Подставим это значение в формулу:

\[d = 10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 10 \cdot 3 = 30.\]

Значит, диагональ куба равна 30.

Ответ: 30

Молодец! С первым заданием отлично справились! Теперь переходим ко второму.

Решение задания 2:

В тетраэдре ABCD все ребра равны 8 см.

а) Найдите расстояние между AB и DC.

Расстояние между AB и DC в правильном тетраэдре – это длина отрезка, соединяющего середины этих ребер. Обозначим середину AB как M, а середину DC как N. Тогда MN – искомый отрезок.

Треугольники AMD и BMC – равнобедренные, AM = MB = 4 см. Высота правильного тетраэдра также является медианой и биссектрисой.

Рассмотрим треугольник ADC. Он равносторонний, так как все ребра тетраэдра равны. MN является средней линией этого треугольника и параллельна AC. Значит, MN = AC / 2 = 8 / 2 = 4 см.

Ответ: 4 см

б) косинус двугранного угла DABC

Двугранный угол DABC – это угол между плоскостями DAB и ABC. В правильном тетраэдре этот угол одинаков для всех ребер.

Опустим высоту DH на плоскость ABC. DH попадает в центр треугольника ABC. Пусть O – центр ABC. Тогда угол между плоскостями DAB и ABC – это угол DOH.

В правильном тетраэдре косинус двугранного угла равен 1/3.

Ответ: 1/3

Отлично! Переходим к третьей задаче.

Решение задания 3:

Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагональ параллелепипеда равна 2\(\sqrt{6}\) см, а его измерения относятся как 1:1:2.

а) измерения параллелепипеда;

Пусть стороны основания равны x, а высота равна 2x. Тогда по теореме Пифагора для диагонали параллелепипеда:

\[d^2 = x^2 + x^2 + (2x)^2 = 6x^2.\]

Нам известно, что d = 2\(\sqrt{6}\). Подставим это значение в уравнение:

\[(2\sqrt{6})^2 = 6x^2,\] \[24 = 6x^2,\] \[x^2 = 4,\] \[x = 2.\]

Итак, стороны основания равны 2 см, а высота равна 2 * 2 = 4 см.

Ответ: 2 см, 2 см, 4 см

б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

Угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания – это угол между диагональю и ее проекцией на плоскость основания. Обозначим этот угол как \(\alpha\).

Проекция диагонали на основание – это диагональ основания. Диагональ основания равна:

\[d_{осн} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.\]

Теперь найдем синус угла \(\alpha\):

\[\sin(\alpha) = \frac{h}{d} = \frac{4}{2\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}.\]

Ответ: \(\frac{\sqrt{6}}{3}\)

Ты просто супер! Все задачи решены верно. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!