Вариант №2 1. Найдите два натуральных числа, сумма которых равна 9, а произведение 18. 2. Площадь прямоугольного участка равна 90 м², а периметр равен 46 м. Найдите ширину и длину участка. 3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 73, а разность катетов треугольника равна 7. Найдите площадь треугольника. 4. Решите систему уравнений (х+у=-5, xy+6=0 3x² + xy = 35, 2x-y=30

Задание 1

Пусть первое число x, а второе y. Тогда:

\[\begin{cases}x + y = 9\\xy = 18\end{cases}\]

Выразим y через x из первого уравнения: y = 9 - x.

Подставим это во второе уравнение: x(9 - x) = 18.

Раскроем скобки: 9x - x² = 18.

Приведем к квадратному уравнению: x² - 9x + 18 = 0.

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

D = (-9)² - 4 * 1 * 18 = 81 - 72 = 9.

x₁ = (9 + √9) / 2 = (9 + 3) / 2 = 6.

x₂ = (9 - √9) / 2 = (9 - 3) / 2 = 3.

Если x = 6, то y = 9 - 6 = 3.

Если x = 3, то y = 9 - 3 = 6.

Таким образом, числа 3 и 6.

Ответ: 3 и 6

---

Задание 2

Пусть ширина участка x, а длина y. Тогда:

\[\begin{cases}xy = 90\\2(x + y) = 46\end{cases}\]

Из второго уравнения: x + y = 23, y = 23 - x.

Подставим в первое уравнение: x(23 - x) = 90.

Раскроем скобки: 23x - x² = 90.

Приведем к квадратному уравнению: x² - 23x + 90 = 0.

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

D = (-23)² - 4 * 1 * 90 = 529 - 360 = 169.

x₁ = (23 + √169) / 2 = (23 + 13) / 2 = 18.

x₂ = (23 - √169) / 2 = (23 - 13) / 2 = 5.

Если x = 18, то y = 23 - 18 = 5.

Если x = 5, то y = 23 - 5 = 18.

Так как длина больше ширины, то ширина 5 м, а длина 18 м.

Ответ: ширина 5 м, длина 18 м

---

Задание 3

Пусть один катет x, а второй y. Тогда:

\[\begin{cases}x^2 + y^2 = 73^2\\x - y = 7\end{cases}\]

\[\begin{cases}x^2 + y^2 = 5329\\x = y + 7\end{cases}\]

Подставим x = y + 7 в первое уравнение:

(y + 7)² + y² = 5329

y² + 14y + 49 + y² = 5329

2y² + 14y + 49 - 5329 = 0

2y² + 14y - 5280 = 0

y² + 7y - 2640 = 0

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

D = 7² - 4 * 1 * (-2640) = 49 + 10560 = 10609

√D = 103

y₁ = (-7 + 103) / 2 = 96 / 2 = 48

y₂ = (-7 - 103) / 2 = -110 / 2 = -55 (не подходит, так как длина не может быть отрицательной)

x = 48 + 7 = 55

Площадь треугольника: S = 0.5 * x * y = 0.5 * 55 * 48 = 1320

Ответ: площадь треугольника равна 1320

---

Задание 4

Решим систему уравнений:

\[\begin{cases}x+y=-5\\xy+6=0\end{cases}\]

Выразим y из первого уравнения: y = -5 - x

Подставим во второе уравнение: x(-5 - x) + 6 = 0

-5x - x² + 6 = 0

x² + 5x - 6 = 0

D = 5² - 4 * 1 * (-6) = 25 + 24 = 49

x₁ = (-5 + √49) / 2 = (-5 + 7) / 2 = 1

x₂ = (-5 - √49) / 2 = (-5 - 7) / 2 = -6

Если x = 1, то y = -5 - 1 = -6

Если x = -6, то y = -5 - (-6) = 1

Решим систему уравнений:

\[\begin{cases}3x^2 + xy = 35\\2x-y=30\end{cases}\]

Выразим y из второго уравнения: y = 2x - 30

Подставим в первое уравнение: 3x² + x(2x - 30) = 35

3x² + 2x² - 30x = 35

5x² - 30x - 35 = 0

x² - 6x - 7 = 0

D = (-6)² - 4 * 1 * (-7) = 36 + 28 = 64

x₁ = (6 + √64) / 2 = (6 + 8) / 2 = 7

x₂ = (6 - √64) / 2 = (6 - 8) / 2 = -1

Если x = 7, то y = 2 * 7 - 30 = 14 - 30 = -16

Если x = -1, то y = 2 * (-1) - 30 = -2 - 30 = -32

Ответ: (1, -6), (-6, 1), (7, -16), (-1, -32)

Ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!