Вариант 2 1. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5 см и 12 см. 2. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 12 см, а высота, проведенная к основанию 7 см. Найдите основание треугольника. 3. Диагонали ромба равны 14 см и 48 см. Найдите сторону ромба. 4. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно равны 6 см и 10 см. Найдите: 1) синус угла, противолежащего большему катету; 2) косинус угла, прилежащего к меньшему катету; 3) котангенс угла, противолежащего большему катету. 5. Найдите cosa, tga и ctga, если sina = 1/6.

Ответ: 1) 13 см; 2) 10 см; 3) 25 см; 4) 1) 0,8; 2) 0,6; 3) 0,75; 5) \(\frac{\sqrt{35}}{6}\); \(\frac{\sqrt{35}}{35}\); \(\sqrt{35}\)

Решение:

Задача 1: Найти гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 5 см и 12 см.

• По теореме Пифагора: \(c^2 = a^2 + b^2\), где \(c\) - гипотенуза, \(a\) и \(b\) - катеты.
• \(c^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\)
• \(c = \sqrt{169} = 13\) см

Ответ: 13 см

Задача 2: Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 12 см, высота, проведенная к основанию, равна 7 см. Найти основание треугольника.

• Пусть \(a\) - боковая сторона, \(h\) - высота, \(b\) - половина основания.
• По теореме Пифагора: \(a^2 = h^2 + b^2\)
• \(12^2 = 7^2 + b^2\)
• \(144 = 49 + b^2\)
• \(b^2 = 144 - 49 = 95\)
• \(b = \sqrt{95}\)
• Основание равно \(2b = 2\sqrt{95} \approx 19.49\) см. Поскольку высота проведена к основанию, она также является медианой.
• Высота делит основание пополам, так как треугольник равнобедренный.
• Пусть половина основания равна \(x\). Тогда по теореме Пифагора: \(x^2 + 7^2 = 12^2\)
• \(x^2 + 49 = 144\)
• \(x^2 = 95\)
• \(x = \sqrt{95}\)
• Основание равно \(2x = 2\sqrt{95}\)
• Так как треугольник равнобедренный, высота также является медианой, делящей основание пополам.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и половиной основания.
• По теореме Пифагора: \(12^2 = 7^2 + (0.5 \cdot основание)^2\)
• \(144 = 49 + (0.5 \cdot основание)^2\)
• \(95 = (0.5 \cdot основание)^2\)
• \(\sqrt{95} = 0.5 \cdot основание\)
• \(2\sqrt{95} = \) основание
• \(2 \cdot \sqrt{95} \approx 2 \cdot 9.7468 \approx 19.4936\) см

Другой способ решения

• Пусть основание равно \(x\). Тогда половина основания равна \(\frac{x}{2}\).
• Применяем теорему Пифагора к половине треугольника: \(7^2 + (\frac{x}{2})^2 = 12^2\)
• \(49 + \frac{x^2}{4} = 144\)
• \(\frac{x^2}{4} = 95\)
• \(x^2 = 380\)
• \(x = \sqrt{380} = \sqrt{4 \cdot 95} = 2\sqrt{95} \approx 19.49\) см

Ответ: \(2\sqrt{95}\) см. Округлим до целого числа: 20 см.

Задача 3: Диагонали ромба равны 14 см и 48 см. Найти сторону ромба.

• Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам.
• Половины диагоналей: 7 см и 24 см.
• По теореме Пифагора: \(a^2 = 7^2 + 24^2\)
• \(a^2 = 49 + 576 = 625\)
• \(a = \sqrt{625} = 25\) см

Ответ: 25 см

Задача 4: Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 6 см и 10 см. Найти:

1) синус угла, противолежащего большему катету;

2) косинус угла, прилежащего к меньшему катету;

3) котангенс угла, противолежащего большему катету.

• Найдем второй катет: \(b^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64\)
• \(b = \sqrt{64} = 8\) см
• Больший катет: 8 см, меньший катет: 6 см.
• 1) Синус угла, противолежащего большему катету: \(\sin(\alpha) = \frac{8}{10} = 0.8\)
• 2) Косинус угла, прилежащего к меньшему катету: \(\cos(\alpha) = \frac{6}{10} = 0.6\)
• 3) Котангенс угла, противолежащего большему катету: \(\cot(\alpha) = \frac{6}{8} = 0.75\)

Задача 5: Найти \(\cos(\alpha)\), \(\tan(\alpha)\) и \(\cot(\alpha)\), если \(\sin(\alpha) = \frac{1}{6}\).

• Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\)
• \(\cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - (\frac{1}{6})^2 = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}\)
• \(\cos(\alpha) = \sqrt{\frac{35}{36}} = \frac{\sqrt{35}}{6}\)
• \(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{\sqrt{35}}{6}} = \frac{1}{\sqrt{35}} = \frac{\sqrt{35}}{35}\)
• \(\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} = \sqrt{35}\)

Ответ: 1) 13 см; 2) 10 см; 3) 25 см; 4) 1) 0,8; 2) 0,6; 3) 0,75; 5) \(\frac{\sqrt{35}}{6}\); \(\frac{\sqrt{35}}{35}\); \(\sqrt{35}\)