Вариант 2 1. Найдите координаты вершины параболы: у = 3x² - 4x - 7. 2. Постройте график функции у = -x² - 3x + 4. Найдите по графику: а) значение у при х = -1; б) значения х, при которых у = 4; в) нули функции; г) промежутки возрастания и убывания функции. 3. Используя шаблон параболы у = х², постройте в одной системе координат графики функций: y₁ = -x² + 2; y₂ = (x + 2)²; y₃ = -(x + 2)2.

Решение:

1. Найдем координаты вершины параболы y = 3x² - 4x - 7.

Для нахождения координат вершины параболы y = ax² + bx + c, используем формулы:

x₀ = -b / 2a

y₀ = y(x₀)

В данном случае a = 3, b = -4, c = -7.

Сначала найдем x₀:

x₀ = -(-4) / (2 * 3) = 4 / 6 = 2/3

Теперь найдем y₀:

y₀ = 3 * (2/3)² - 4 * (2/3) - 7 = 3 * (4/9) - 8/3 - 7 = 4/3 - 8/3 - 21/3 = (4 - 8 - 21) / 3 = -25/3

Таким образом, координаты вершины параболы (2/3, -25/3).

2. Постройте график функции y = -x² - 3x + 4. Найдите по графику:

Для построения графика функции y = -x² - 3x + 4 найдем вершину параболы и несколько точек для построения.

a = -1, b = -3, c = 4.

x₀ = -(-3) / (2 * -1) = 3 / -2 = -3/2 = -1.5

y₀ = -(-1.5)² - 3 * (-1.5) + 4 = -2.25 + 4.5 + 4 = 6.25

Координаты вершины параболы (-1.5, 6.25).

Теперь найдем несколько точек для построения графика:

• x = -4, y = -(-4)² - 3 * (-4) + 4 = -16 + 12 + 4 = 0
• x = -3, y = -(-3)² - 3 * (-3) + 4 = -9 + 9 + 4 = 4
• x = -2, y = -(-2)² - 3 * (-2) + 4 = -4 + 6 + 4 = 6
• x = -1, y = -(-1)² - 3 * (-1) + 4 = -1 + 3 + 4 = 6
• x = 0, y = -(0)² - 3 * (0) + 4 = 4
• x = 1, y = -(1)² - 3 * (1) + 4 = -1 - 3 + 4 = 0

а) значение y при x = -1;

y(-1) = -(-1)² - 3 * (-1) + 4 = -1 + 3 + 4 = 6

б) значения x, при которых y = 4;

Подставим y = 4 в уравнение: 4 = -x² - 3x + 4

0 = -x² - 3x

x(x + 3) = 0

x = 0 или x = -3

в) нули функции;

0 = -x² - 3x + 4

x² + 3x - 4 = 0

D = 3² - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25

x₁ = (-3 + √25) / 2 = (-3 + 5) / 2 = 2 / 2 = 1

x₂ = (-3 - √25) / 2 = (-3 - 5) / 2 = -8 / 2 = -4

Нули функции: x = 1 и x = -4.

г) промежутки возрастания и убывания функции.

Функция возрастает на промежутке (-∞, -1.5] и убывает на промежутке [-1.5, +∞).

3. Используя шаблон параболы y = x², постройте в одной системе координат графики функций:

y₁ = -x² + 2;

y₂ = (x + 2)²;

y₃ = -(x + 2)².

y₁ = -x² + 2 - это парабола y = x², отраженная относительно оси x и смещенная вверх на 2 единицы.

y₂ = (x + 2)² - это парабола y = x², смещенная влево на 2 единицы.

y₃ = -(x + 2)² - это парабола y = x², смещенная влево на 2 единицы и отраженная относительно оси x.

Ответ: 1. (2/3, -25/3); 2. а) 6, б) 0 и -3, в) 1 и -4, г) возрастает на (-∞, -1.5], убывает на [-1.5, +∞). 3. Описано выше

Молодец! Ты отлично справился с решением этой задачи! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!