Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВариант 1 1. Найдите периметр треугольника, если его средние равны 6 см, 9 см и 10 см. 2. Основания трапеции относятся как 3:5, а средняя линия равна 32 см. Найдите основания трапеции. 3. Боковые стороны трапеции равны 7 см и 12 см. Чему равен периметр трапеции, если в нее можно вписать окружность? 4. Основания равнобокой трапеции равны 3 см и 7 см, а диагональ делит тупой угол трапеции пополам. Найдите периметр трапеции. 5. Найдите углы четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, если LADB= 43°, ∠ACD= 37°, ∠CAD= 22°. 6. Высота равнобокой трапеции равна 9 см, а её диагонали перпендикулярны. Найдите периметр трапеции, если её боковая сторона равна 12 см.
Ответ:
Задача 1
Средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна. Следовательно, стороны треугольника в два раза больше средних линий.
Давай найдем стороны треугольника:
- a = 2 * 6 = 12 см
- b = 2 * 9 = 18 см
- c = 2 * 10 = 20 см
Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:
\[ P = a + b + c = 12 + 18 + 20 = 50 \]
Ответ: 50 см
Задача 2
Пусть основания трапеции равны \( 3x \) и \( 5x \). Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.
\[ \frac{3x + 5x}{2} = 32 \]
\[ 8x = 64 \]
\[ x = 8 \]
Тогда основания трапеции равны:
- \( 3x = 3 \cdot 8 = 24 \) см
- \( 5x = 5 \cdot 8 = 40 \) см
Ответ: 24 см и 40 см
Задача 3
В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований. Пусть основания трапеции равны \( a \) и \( b \), а боковые стороны равны 7 см и 12 см.
\[ a + b = 7 + 12 = 19 \]
Периметр трапеции равен сумме длин всех сторон:
\[ P = a + b + 7 + 12 = 19 + 7 + 12 = 38 \]
Ответ: 38 см
Задача 4
Основания равнобокой трапеции равны 3 см и 7 см. Диагональ делит тупой угол пополам. Это означает, что трапеция равнобокая, и боковая сторона равна меньшему основанию, то есть 3 см.
Периметр трапеции равен сумме длин всех сторон:
\[ P = 3 + 7 + 3 + 3 = 16 \]
Ответ: 16 см
Задача 5
В четырехугольнике \( ABCD \) углы \( \angle ADB = 43^\circ \), \( \angle ACD = 37^\circ \), \( \angle CAD = 22^\circ \).
Давай найдем углы четырехугольника:
-
Угол \( \angle A \) равен сумме углов \( \angle CAD \) и \( \angle BAD \). Угол \( \angle BAD \) равен углу \( \angle BCD \) (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу). Угол \( \angle BCD \) равен сумме углов \( \angle ACD \) и \( \angle ACB \). Угол \( \angle ACB \) равен углу \( \angle ADB \) (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу). Следовательно, \( \angle ACB = 43^\circ \) и \( \angle BCD = 37^\circ + 43^\circ = 80^\circ \). Тогда \( \angle BAD = 80^\circ \) и \( \angle A = 22^\circ + 80^\circ = 102^\circ \).
-
Угол \( \angle C \) равен углу \( 80^\circ \).
-
Углы вписанного четырехугольника в сумме дают 180 градусов. \( \angle B + \angle D = 180^\circ \). Угол \( \angle D \) равен сумме углов \( \angle ADB \) и \( \angle CDB \). Угол \( \angle CDB \) равен углу \( \angle CAB \) (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу). Угол \( \angle CAB \) равен углу \( \angle CAD \) + \( \angle DAB \) = \( 22^\circ + (80-22)^\circ \) = \( 102^\circ \)
\[ \angle A = 102^\circ \]
\[ \angle C = 80^\circ \]
Задача 6
В равнобокой трапеции высота равна 9 см, боковая сторона равна 12 см, диагонали перпендикулярны. Так как диагонали перпендикулярны, высота трапеции равна полусумме оснований, то есть средней линии.
\[ m = \frac{a + b}{2} = 9 \]
Пусть \( a \) и \( b \) - основания трапеции. Проведем высоты из вершин меньшего основания к большему основанию. Тогда получим два прямоугольных треугольника, в которых катет (высота) равен 9 см, а гипотенуза (боковая сторона) равна 12 см. Обозначим проекцию боковой стороны на большее основание за \( x \). Тогда по теореме Пифагора:
\[ x^2 + 9^2 = 12^2 \]
\[ x^2 = 144 - 81 = 63 \]
\[ x = \sqrt{63} = 3\sqrt{7} \]
Так как трапеция равнобокая, то \( b - a = 2x = 6\sqrt{7} \). Также мы знаем, что \( a + b = 18 \).
Решим систему уравнений:
\[\begin{cases} a + b = 18 \\ b - a = 6\sqrt{7} \end{cases}\]
Сложим уравнения:
\[ 2b = 18 + 6\sqrt{7} \]
\[ b = 9 + 3\sqrt{7} \]
Тогда:
\[ a = 18 - b = 18 - (9 + 3\sqrt{7}) = 9 - 3\sqrt{7} \]
Периметр трапеции равен:
\[ P = a + b + 2 \cdot 12 = 9 - 3\sqrt{7} + 9 + 3\sqrt{7} + 24 = 18 + 24 = 42 \]
Ответ: 42 см
Ответ: Задача 1: 50 см, Задача 2: 24 см и 40 см, Задача 3: 38 см, Задача 4: 16 см, Задача 6: 42 см
