Вариант 1 1. Найдите первые пять членов геометрической прогрессии (bn), если известны q=³, b₁=64. 2. (bn) - геометрическая прогрессия. Найдите в9, если в₁ = -24, q = 0,5. 3. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, первый член которой равен -9, а знаменатель равен -2. 4. Найдите первый член геометрической прогрессии, в которой седьмой член равен 3, а знаменатель √3 2 5. Найдите сумму девяти первых членов геометрической прогрессии (bn), с положительными членами, зная, что b₂ = 0,04 и b4 = 0,16. 6. Между числами 6 и 486 вставьте такое число, чтобы оно вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.

1. Найдите первые пять членов геометрической прогрессии (\(b_n\)), если известны \(q = \frac{3}{4}\), \(b_1 = 64\).

• Шаг 1: Найдём второй член прогрессии: \[b_2 = b_1 \cdot q = 64 \cdot \frac{3}{4} = 16 \cdot 3 = 48\]
• Шаг 2: Найдём третий член прогрессии: \[b_3 = b_2 \cdot q = 48 \cdot \frac{3}{4} = 12 \cdot 3 = 36\]
• Шаг 3: Найдём четвёртый член прогрессии: \[b_4 = b_3 \cdot q = 36 \cdot \frac{3}{4} = 9 \cdot 3 = 27\]
• Шаг 4: Найдём пятый член прогрессии: \[b_5 = b_4 \cdot q = 27 \cdot \frac{3}{4} = \frac{81}{4} = 20.25\]

Ответ: 64, 48, 36, 27, 20.25

2. (\(b_n\)) - геометрическая прогрессия. Найдите \(b_9\), если \(b_1 = -24\), \(q = 0.5\).

• Шаг 1: Используем формулу для n-го члена геометрической прогрессии: \[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\]
• Шаг 2: Найдём \(b_9\): \[b_9 = -24 \cdot (0.5)^{9-1} = -24 \cdot (0.5)^8 = -24 \cdot \frac{1}{256} = -\frac{24}{256} = -\frac{3}{32} = -0.09375\]

Ответ: -0.09375

3. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, первый член которой равен -9, а знаменатель равен -2.

• Шаг 1: Используем формулу для суммы n первых членов геометрической прогрессии: \[S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}\]
• Шаг 2: Найдём сумму первых шести членов: \[S_6 = \frac{-9(1 - (-2)^6)}{1 - (-2)} = \frac{-9(1 - 64)}{3} = -3(1 - 64) = -3(-63) = 189\]

Ответ: 189

4. Найдите первый член геометрической прогрессии, в которой седьмой член равен 3, а знаменатель равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

• Шаг 1: Используем формулу для n-го члена геометрической прогрессии: \[b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\]
• Шаг 2: Найдём первый член, зная седьмой член: \[b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} \Rightarrow 3 = b_1 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})^6\]
• Шаг 3: Выразим \(b_1\) и вычислим его значение: \[b_1 = \frac{3}{(\frac{\sqrt{3}}{2})^6} = \frac{3}{\frac{3^3}{2^6}} = \frac{3 \cdot 2^6}{3^3} = \frac{2^6}{3^2} = \frac{64}{9}\]

Ответ: 64/9

5. Найдите сумму девяти первых членов геометрической прогрессии (\(b_n\)), с положительными членами, зная, что \(b_2 = 0.04\) и \(b_4 = 0.16\).

• Шаг 1: Найдём знаменатель геометрической прогрессии: \[\frac{b_4}{b_2} = q^2 \Rightarrow q^2 = \frac{0.16}{0.04} = 4 \Rightarrow q = \sqrt{4} = 2\] (так как члены положительные)
• Шаг 2: Найдём первый член прогрессии: \[b_2 = b_1 \cdot q \Rightarrow 0.04 = b_1 \cdot 2 \Rightarrow b_1 = \frac{0.04}{2} = 0.02\]
• Шаг 3: Используем формулу для суммы n первых членов геометрической прогрессии: \[S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}\]
• Шаг 4: Найдём сумму первых девяти членов: \[S_9 = \frac{0.02(1 - 2^9)}{1 - 2} = \frac{0.02(1 - 512)}{-1} = -0.02(-511) = 10.22\]

Ответ: 10.22

6. Между числами 6 и 486 вставьте такое число, чтобы оно вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.

• Шаг 1: Пусть x - искомое число. Тогда геометрическая прогрессия будет иметь вид: 6, x, 486.
• Шаг 2: В геометрической прогрессии отношение соседних членов постоянно, то есть: \[\frac{x}{6} = \frac{486}{x}\]
• Шаг 3: Решим это уравнение: \[x^2 = 6 \cdot 486 = 2916\] \[x = \sqrt{2916} = 54\]

Ответ: 54