Вариант 2. 1. Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности, если радиус окружности равен 5 см. 2. Найдите длину дуги окружности радиуса 12 дм, если ее градусная мера равна 60°. 3. Длина дуги окружности равна 8л, а ее градусная мера равен 45°. Найдите радиус этой окружности. 4. Найдите площадь кругового сектора радиуса 12 см., если его центральный угол равен 20°.

1. Площадь круга и длина окружности при радиусе 5 см.

Площадь круга вычисляется по формуле:

$$S = \pi r^2$$

Длина окружности вычисляется по формуле:

$$C = 2 \pi r$$

Подставим значение радиуса r = 5 см в формулы:

$$S = \pi (5 \text{ см})^2 = 25 \pi \text{ см}^2$$
$$C = 2 \pi (5 \text{ см}) = 10 \pi \text{ см}$$

Ответ: Площадь круга равна $$25 \pi \text{ см}^2$$, длина окружности равна $$10 \pi \text{ см}$$.

2. Длина дуги окружности радиуса 12 дм, если её градусная мера равна 60°.

Длина дуги окружности вычисляется по формуле:

$$l = \frac{\pi r \alpha}{180^\circ}$$, где r - радиус, \(\alpha\) - градусная мера дуги.

Подставим значения r = 12 дм и \(\alpha\) = 60° в формулу:

$$l = \frac{\pi (12 \text{ дм}) (60^\circ)}{180^\circ} = \frac{12 \pi \cdot 60}{180} \text{ дм} = \frac{720 \pi}{180} \text{ дм} = 4\pi \text{ дм}$$

Ответ: Длина дуги равна $$4 \pi \text{ дм}$$.

3. Радиус окружности, если длина дуги окружности равна $$8\pi$$, а ее градусная мера равна 45°.

Используем формулу длины дуги окружности:

$$l = \frac{\pi r \alpha}{180^\circ}$$, где l - длина дуги, r - радиус, \(\alpha\) - градусная мера дуги.

Выразим радиус из формулы:

$$r = \frac{180^\circ \cdot l}{\pi \alpha}$$

Подставим значения l = $$8\pi$$ и \(\alpha\) = 45° в формулу:

$$r = \frac{180^\circ \cdot 8\pi}{\pi \cdot 45^\circ} = \frac{180 \cdot 8}{45} = 4 \cdot 8 = 32$$

Ответ: Радиус окружности равен 32.

4. Площадь кругового сектора радиуса 12 см, если его центральный угол равен 20°.

Площадь кругового сектора вычисляется по формуле:

$$S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360^\circ}$$, где r - радиус, \(\alpha\) - центральный угол в градусах.

Подставим значения r = 12 см и \(\alpha\) = 20° в формулу:

$$S = \frac{\pi (12 \text{ см})^2 (20^\circ)}{360^\circ} = \frac{\pi \cdot 144 \cdot 20}{360} \text{ см}^2 = \frac{2880 \pi}{360} \text{ см}^2 = 8\pi \text{ см}^2$$

Ответ: Площадь кругового сектора равна $$8 \pi \text{ см}^2$$.