Вариант 2 1. Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности, если сторона квадрата, описанного около него, равна 6 см. 2. Вычислите длину дуги окружности с радиусом 10 см, если ее градусная мера равна 150°. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора? 3. Периметр квадрата, описанного около окружности, равен 16 дм. Найдите периметр правильного треугольника, вписанного в эту же окружность. 4*. Найдите площадь заштрихованной на рисунке фигуры, если O – центр окружности с диаметром 10√2 (рис. 12.56).

Ответ 1

Сторона квадрата, описанного около окружности, равна диаметру окружности. Следовательно, диаметр окружности равен 6 см, а радиус равен половине диаметра, то есть 3 см.

Площадь круга вычисляется по формуле \(S = \pi r^2\), где \(r\) - радиус круга. В данном случае, \(r = 3\) см.

Длина окружности вычисляется по формуле \(C = 2 \pi r\).

• Площадь круга:

\[ S = \pi r^2 = \pi (3 \text{ см})^2 = 9 \pi \text{ см}^2 \]

• Длина окружности:

\[ C = 2 \pi r = 2 \pi (3 \text{ см}) = 6 \pi \text{ см} \]

Ответ 2

Длина дуги окружности вычисляется по формуле \(L = \frac{\pi r \alpha}{180}\), где \(r\) - радиус окружности, \(\alpha\) - градусная мера дуги. В данном случае, \(r = 10\) см, \(\alpha = 150^\circ\).

Площадь сектора круга вычисляется по формуле \(S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360}\).

• Длина дуги:

\[ L = \frac{\pi r \alpha}{180} = \frac{\pi (10 \text{ см}) (150^\circ)}{180} = \frac{1500 \pi}{180} \text{ см} = \frac{25 \pi}{3} \text{ см} \]

• Площадь сектора:

\[ S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360} = \frac{\pi (10 \text{ см})^2 (150^\circ)}{360} = \frac{15000 \pi}{360} \text{ см}^2 = \frac{125 \pi}{3} \text{ см}^2 \]

Ответ 3

Периметр квадрата, описанного около окружности, равен 16 дм. Следовательно, сторона квадрата равна \(\frac{16}{4} = 4\) дм.

Сторона квадрата равна диаметру окружности, следовательно, диаметр окружности равен 4 дм, а радиус равен половине диаметра, то есть 2 дм.

Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, вычисляется по формуле \(P = 3r\sqrt{3}\), где \(r\) - радиус окружности.

\[ P = 3r\sqrt{3} = 3 \cdot 2 \sqrt{3} \text{ дм} = 6\sqrt{3} \text{ дм} \]

Ответ 4

Диаметр окружности равен \(10\sqrt{2}\), следовательно, радиус равен \(\frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\).

Площадь круга равна \(S_{круг} = \pi r^2 = \pi (5\sqrt{2})^2 = 50\pi\).

Так как треугольник равнобедренный и прямоугольный (углы при основании равны 45°), его площадь равна половине квадрата радиуса, то есть \(S_{\text{треуг}} = \frac{1}{2} \cdot (5\sqrt{2})^2 = 25\).

Площадь заштрихованной фигуры равна разности между площадью круга и площадью треугольника.

\[ S_{\text{заштрих}} = S_{\text{круг}} - S_{\text{треуг}} = 50\pi - 25 = 25(2\pi - 1) \]