Вариант 2 9 1. Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности, если сторона квадрата, описанного около него, равна 6 см. 2. Вычислите длину дуги окружности с радиусом 10 см, если ее градусная мера равна 150°. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора? 3. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол АВС равен 136°, угол CAD равен 82°. Найдите угол ABD.

1. Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности, если сторона квадрата, описанного около него, равна 6 см.

Давай разберем по порядку! Если квадрат описан около круга, то диаметр круга равен стороне квадрата. Значит, диаметр круга равен 6 см, а радиус равен половине диаметра, то есть 3 см.

Площадь круга вычисляется по формуле: \[S = \pi r^2\]

Подставим значение радиуса: \[S = \pi (3)^2 = 9\pi \approx 28.27 \,\text{см}^2\]

Длина окружности вычисляется по формуле: \[C = 2 \pi r\]

Подставим значение радиуса: \[C = 2 \pi (3) = 6\pi \approx 18.85 \,\text{см}\]

Ответ: Площадь круга равна \(9\pi \,\text{см}^2\) или примерно 28.27 см², длина окружности равна \(6\pi \,\text{см}\) или примерно 18.85 см.

2. Вычислите длину дуги окружности с радиусом 10 см, если ее градусная мера равна 150°. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора?

Сначала найдем длину дуги. Длина дуги окружности вычисляется по формуле:

\[l = \frac{\pi r \alpha}{180}\]

где \(r\) - радиус окружности, \(\alpha\) - градусная мера дуги.

Подставим значения: \[l = \frac{\pi \cdot 10 \cdot 150}{180} = \frac{1500\pi}{180} = \frac{25\pi}{3} \approx 26.18 \,\text{см}\]

Теперь найдем площадь кругового сектора. Площадь кругового сектора вычисляется по формуле:

\[S = \frac{\pi r^2 \alpha}{360}\]

Подставим значения: \[S = \frac{\pi \cdot (10)^2 \cdot 150}{360} = \frac{15000\pi}{360} = \frac{125\pi}{3} \approx 130.9 \,\text{см}^2\]

Ответ: Длина дуги равна \(\frac{25\pi}{3}\) см или примерно 26.18 см, площадь кругового сектора равна \(\frac{125\pi}{3}\) см² или примерно 130.9 см².

3. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 136°, угол CAD равен 82°. Найдите угол ABD.

Давай решим эту задачу! Угол ABC равен 136°. Угол CAD равен 82°. Нужно найти угол ABD.

Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность, то сумма противоположных углов равна 180°. То есть:

\[\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ\]

Отсюда можно найти угол ADC:

\[\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ\]

Угол CAD опирается на дугу CD. Угол CBD также опирается на дугу CD, следовательно, они равны:

\[\angle CBD = \angle CAD = 82^\circ\]

Теперь рассмотрим угол ABD. Он равен разности углов ABC и CBD:

\[\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 136^\circ - 82^\circ = 54^\circ\]

Ответ: Угол ABD равен 54°.

Ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!