Вариант 1 1. Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности, если сторона правильного треугольника, вписан- ного в него, равна 5/3 см. 2. Вычислите длину дуги окружности с радиусом 4 см, если ее градусная мера равна 120°. Чему равна площадь соответствую- щего данной дуге кругового сектора? 3. Периметр правильного треугольника, вписанного в окруж- ность, равен 63 дм. Найдите периметр правильного шестиуголь- ника, описанного около той же окружности. 4*. Найдите площадь заштрихованной на рисунке фигуры, если ВС = 4, ∠BAC = 30°, O – центр окружности (рис. 12.55).

1. Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности, если сторона правильного треугольника, вписанного в него, равна $$5\sqrt{3}$$ см.

Решение:

Сторона правильного треугольника $$a = 5\sqrt{3}$$.

Радиус описанной окружности около правильного треугольника:

$$R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5 \text{ см}$$

Площадь круга:

$$S = \pi R^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \approx 78.54 \text{ см}^2$$

Длина окружности:

$$C = 2\pi R = 2\pi \cdot 5 = 10\pi \approx 31.42 \text{ см}$$

Ответ: $$S = 25\pi \text{ см}^2$$, $$C = 10\pi \text{ см}$$

2. Вычислите длину дуги окружности с радиусом 4 см, если ее градусная мера равна 120°. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора?

Решение:

Радиус окружности $$R = 4 \text{ см}$$. Градусная мера дуги $$\alpha = 120^\circ$$.

Длина дуги:

$$l = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ} = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 120^\circ}{180^\circ} = \frac{8\pi}{3} \approx 8.38 \text{ см}$$

Площадь сектора:

$$S = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} = \frac{\pi \cdot 4^2 \cdot 120^\circ}{360^\circ} = \frac{16\pi}{3} \approx 16.76 \text{ см}^2$$

Ответ: $$l = \frac{8\pi}{3} \text{ см}$$, $$S = \frac{16\pi}{3} \text{ см}^2$$

3. Периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, равен $$6\sqrt{3}$$ дм. Найдите периметр правильного шестиугольника, описанного около той же окружности.

Решение:

Периметр правильного треугольника $$P_3 = 6\sqrt{3} \text{ дм}$$.

Сторона правильного треугольника:

$$a_3 = \frac{P_3}{3} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \text{ дм}$$

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

$$R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2 \text{ дм}$$

Сторона правильного шестиугольника, описанного около той же окружности:

$$a_6 = \frac{2R}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \text{ дм}$$

Периметр правильного шестиугольника:

$$P_6 = 6a_6 = 6 \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} \approx 13.86 \text{ дм}$$

Ответ: $$P_6 = 8\sqrt{3} \text{ дм}$$

4*. Найдите площадь заштрихованной на рисунке фигуры, если BC = 4, ∠BAC = 30°, O – центр окружности (рис. 12.55).

Решение:

Вписанный угол $$\angle BAC = 30^\circ$$, опирается на дугу BC, следовательно, центральный угол $$\angle BOC = 2\angle BAC = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$$.

В $$\triangle BOC$$, $$OB = OC = R$$, следовательно, $$\triangle BOC$$ - равнобедренный. Т.к. $$\angle BOC = 60^\circ$$, то $$\triangle BOC$$ - равносторонний, следовательно, $$OB = OC = BC = 4$$.

Площадь кругового сектора BOC:

$$S_{\text{сектора}} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^\circ} = \frac{\pi \cdot 4^2 \cdot 60^\circ}{360^\circ} = \frac{8\pi}{3}$$

Площадь треугольника BOC:

$$S_{\triangle} = \frac{1}{2} R^2 \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$$

Площадь заштрихованной фигуры:

$$S_{\text{фигуры}} = \pi R^2 - (S_{\text{сектора}} - S_{\triangle}) = \pi \cdot 4^2 - (\frac{8\pi}{3} - 4\sqrt{3}) = 16\pi - \frac{8\pi}{3} + 4\sqrt{3} = \frac{40\pi}{3} + 4\sqrt{3} \approx 50.5 \text{ см}^2$$

Ответ: $$S_{\text{фигуры}} = \frac{40\pi}{3} + 4\sqrt{3} \text{ см}^2$$